УМК по ТВ и МС

Пример 11.1. Найти коэффициент корреляции между производительностью труда Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью труда X (кВт) (в расчете на одного рабочего) для 14 предприятий региона по следующей таблице:

ствует о тесной связи между переменными.

Пример 11.2. В табл. 11.2 приведены выборочные данные: стоимость квартир zi (усл. ден. ед.), общая площадь ui (м2) и удаленность квартир от областно-

го центра yi (км), (i =1,...,18) .

Таблица 11.2

Необходимо исследовать вид связи между стоимостью квартиры, ее общей площадью и удаленностью от областного центра.

Решение. Построим диаграммы рассеяния для пар признаков (U, Z), (Y, Z):

Рис. 11.8. Диаграммы рассеяния для пар компонентов: а) (U,Z); б) (Y,Z).

Судя по диаграммам рассеяния можно предположить наличие между признаками U и Z сильной положительной связи (возможно нелинейной), а между

141

Y и Z − сильной отрицательной связи. Результаты расчета по формуле (11.2) коэффициентов ruz и ryz подтверждают это: ruz = 0,888, ryz = −0,988.

11.3.3. Проверка наличия корреляции. Интервальная оценка rxy

При оценивании достоверности линейной связи между переменными X и Y величина коэффициента корреляции проверяется на статистически значимое отличие от нуля. Иными словами, на уровне значимости α проверяется нулевая гипотеза H0: ρ = 0 при альтернативе H1: ρ ≠ 0.

Для больших выборок (n > 25) критическая статистика критерия имеет вид

ному нормальному закону распределения N(0, 1). Если для вычисленного по выборке значения r выполняется неравенство ucalc > u1−α/2, то гипотеза H0 отклоняется и коэффициент корреляции можно считать существенным, а связь между случайными величинами X и Y достоверной. В противном случае гипотеза принимается и коэффициент корреляции можно считать незначимо отличным от нуля.

Для малых выборок критическая статистика критерия имеет вид

tcr = r n − 2 и в условиях гипотезы H0 подчиняется распределению Стьюдента

1 − r2

с n−2 степенями свободы. Критическая область tcalc > tα/2 100%(n−2), т.е. при выполнении данного неравенства гипотеза H0 отклоняется, и коэффициент корре-

ляции можно считать существенно отличным от нуля.

Замечание 11.3. Следует отметить, что для пары признаков (X, Y), имеющих совместное нормальное распределение, условие ρ = 0 (некоррелированность признаков) влечет за собой статистическую независимость X и Y. Поэтому проверка гипотезы о независимости признаков, совместное распределение которых является нормальным, сводится к проверке гипотезы H0: ρ = 0.

Пример 11.3. Для данных примера 11.2 проверить достоверность линейной статистической связи между стоимостью квартиры (Z) и ее удаленностью от областного центра (Y) при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Имеем две гипотезы: H0: ρ(Y, Z) = 0, H1: ρ(Y, Z) ≠ 0. Поскольку n < 25, то критическая статистика имеет вид

= ryz n − 2

tcr 1 − ryz2 .

Находим из таблицы критическую границу tα/ 2100% (n − 2) = t2,5% (16) = 2,12 . Расчетное значение критической статистики равно

142

Поскольку tcalc > tα/ 2 100% (n − 2) , то гипотеза H0 отклоняется и коэффициент корреляции можно считать существенно отличным от нуля.

Р. Фишер, используя статистику z = 12 ln11 +− rr (z−преобразование Фишера),

имеющую достаточно близкое к нормальному закону распределение даже при малых n, построил доверительный интервал для истинного значения коэффициента корреляции в виде

11.3.4. Оценка тесноты нелинейной связи

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако, часто возникает необходимость в достоверном измерении степени тесноты связи для любой формы зависимости и для признаков, не имеющих совместного нормального распределения.

Формально соответствующие показатели определяются с помощью соотношения для общей дисперсии σy2 признака Y относительно его математического ожидания ay : σ2y = σϕ2 + σε2 , где σϕ2 − дисперсия функции регрессии ϕ(x) от-

носительно ay, σε2 − остаточная дисперсия ошибки наблюдения, которая характеризует разницу между значениями yi и расчетными значениями ϕ(xi).

Определение 11.3. Показатель Ryx, определяемый по формуле

называется теоретическим корреляционным отношением или индексом корреляции Y по X.

Вместо Ryx часто используют коэффициент детерминации Ryx2 =1 − σε2 / σ2y .

Его величина показывает, какая доля общей дисперсии признака Y объясняется дисперсией функции регрессии. Этот коэффициент подробно будет рассмотрен в § 12.2. Подобно Ryx вводится индекс корреляции X по Y

143

где σ2x − полная дисперсия признака X относительно его математического ожидания ax : σ2x = σψ2 + σ2υ , σψ2 − дисперсия функции регрессии ψ(y) относительно

ax, σ2υ − остаточная дисперсия ошибки наблюдения, которая характеризует разницу между значениями xi и расчетными значениями ψ(yi).

Замечание 11.4. Оценивание тесноты связи между переменными по (11.4), (11.5) затруднено тем, что мы должны заранее знать вид модели (11.1). Иными словами, априорно должна быть известна с точностью до постоянных коэффициентов форма функции регрессии ϕ(x) или, соответственно, ψ(y).

Если форма функции регрессии нам неизвестна, то вместо Ryx определяют

эмпирическое корреляционное отношение ηyx. При этом характер данных (ко-

личество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) должен допускать:

-их группирование относительно объясняющей переменной;

-возможность подсчета средних значений объясняемой переменной внутри каждого интервала группирования.

Рассмотрим далее методику вычисления ηyx. Пусть имеет место выборка (xi, yi), (i = 1, … , n). Сгруппируем данные по объясняющей переменной на L интервалов. Определим далее общую sy2, остаточную (среднюю групповых дисперсий) sε2 и межгрупповую δy2 дисперсии переменной y по формулам:

Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X. Остаточная дисперсия характеризует часть вариации Y, возникшую из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X.

Используя правило сложения дисперсий (10.3), имеющее в данном случае вид s2y = sε2 + δ2y , найдем эмпирическое корреляционное отношение

Эмпирическое корреляционное отношение является показателем разброса точек диаграммы рассеяния относительно эмпирической линии регрессии.

144

Замечание 11.5. Поскольку при нахождении η не делалось никаких допущений о форме корреляционной связи, то η служит мерой тесноты связи лю-

бой, в том числе и линейной формы.

Величину ηyx2 называют эмпирическим коэффициентом детерминации.

Она показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X.

Свойства теоретического и эмпирического корреляционных отношений:

1)0 ≤ ηyx ≤ 1;

2)Если ηyx = 0, то корреляционная связь между Y и X отсутствует;

3)Если ηyx = 1, то переменные являются функционально зависимыми;

4)ηyx ≠ ηxy, т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого ryx = rxy) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать объясняющей (независимой), а какую – объясняемой (зависимой).

Корреляционные отношения η и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом: 0 ≤ r ≤ R ≤ η ≤1.

Предложение 11.2. В случае парной линейной модели регрессии ϕ(x) индекс корреляции Ryx = r . #

Пример 11.5. Для данных примера 11.2 получить оценку корреляционного отношения для пары компонентов (U, Z), между которыми из диаграммы рассеяния можно предположить наличие нелинейной статистической связи.

Решение. Получим оценки эмпирических корреляционных отношений ηzu и ηuz. Рассмотрим два случая:

1)U – объясняющая переменная, Z – объясняемая переменная;

2)Z – объясняющая переменная, U – объясняемая переменная. Определим вначале количество групп: L = 5.

Случай 1. Сгруппируем данные относительно объясняющей переменной U.

Оценки z = 49,111, sz2 = 356,432. Вычислим δ2z по (11.6):

δ2z =[(24,5 − 49,111)2 2 +... + (67,375 − 49,111)2 8]18 = 300,997 .

Таблица 11.3

Случай 2. Сгруппируем данные относительно объясняющей переменной Z:

145

Таблица 11.4

Оценки u = 49,389 , su2 =368,238. Вычислим δu2 по (11.6):

δu2 =[(22,4 − 49,389)2 5 +... + (68 − 49,389)2 4]18 = 332,136.

Полученные результаты свидетельствуют о следующем:

1)ηzu ≠ ηuz, причем разница составляет по модулю 0,95−0,919 = 0,031 или 3,4%;

2)Оба эмпирических корреляционных отношения оказались существенно больше (в среднем более чем на 5%) коэффициента корреляции, равного 0,888. Это говорит о нелинейности статистической связи между переменными U и Z.

Проверка значимости эмпирического корреляционного отношения η основана на том, что распределение статистики

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики

Пример 11.6. Для оценки ηuz = 0,950 , полученной в примере 11.5, проверить значимость нелинейной статистической связи между переменными U и Z для уровня значимости α = 0,01.

Решение. Определим по формуле (11.8) расчетное значение критической

Критическое значение равно Fcr.u = F1% (L −1,n − L) = F1% (4,13) =5,205. Поскольку Fcalc > Fcr.u, то нелинейная корреляционная связь между переменными U и Z является значимой.

Расхождение между η2 и R2 (или r2 для парной линейной модели) может быть использовано для проверки линейности корреляционной зависимости.

Рассмотрим частный случай парной линейной модели.

146

Проверка значимости линейной корреляционной зависимости основана на том, что распределение статистики

подчиняется F−распределению с k1 = L−2 и k2 = n−L степеням свободы. Значимое F−отношение (11.9) соответствует значимому отклонению от линейности.

Пример 11.7. Для оценок ηuz = 0,950, ruz = 0,888, полученных для данных примера 11.2, проверить гипотезу о нелинейности связи между стоимостью квартир и общей площадью на уровне значимости α = 0,05.

Решение. Имеем n = 18, L = 5. По формуле (11.9) расчетное значение кри-

Fcalc > Fcr.u, то отклонение от линейности значимо.

11.4. Анализ множественных количественных связей

Экономические явления чаще адекватно описываются многофакторными моделями. Поэтому обобщим рассмотренную выше двумерную корреляционную модель на случай нескольких переменных.

Определение 11.4. Пусть имеется совокупность случайных переменных X1, … , Xm, имеющих совместное нормальное распределение. Матрицу

(i, j = 1, … , m), называют корреляционной матрицей.

Основная задача многомерного корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы Qm по выборке. Эта задача решается определением матрицы выборочных коэффициентов корреляции:

В многомерном корреляционном анализе рассматриваются две типовые задачи:

-определение тесноты связи одной из переменных с совокупностью остальных m−1 переменных;

147

11.4.2. Частный коэффициент корреляции

Иногда в практических ситуациях не удается интерпретировать на содержательном уровне выявленную парную связь между исследуемыми переменными. Причиной часто является опосредованное влияние на исследуемые переменные некоторого третьего фактора – неучтенных переменных. Необходимо введение измерителей корреляционной связи, «очищенных» от такого влияния.

В качестве измерителя степени тесноты связи между переменными X и Y при фиксированных значениях других переменных используются частные ко-

эффициенты корреляции.

Определение 11.5. Пусть имеется совокупность случайных переменных X1, … , Xm, имеющих совместное нормальное распределение. Выборочным частным коэффициентом корреляции между переменными Xi и Xj при фиксированных значениях остальных (m − 2) переменных называется выражение

где Rij, Rjj − алгебраические дополнения элемента rij, rjj матрицы Rm. В частности, для трех переменных (m = 3) формула (11.13) примет вид:

корреляции rij, может принимать значения от −1 до 1. Кроме того, для исходной многомерной выборки объема n, он имеет такое же распределение, что и rij, вычисленный по n − m + 2 наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффициента корреляции rij \12Km оценивают так же, как и коэффициента корреляции

rij, полагая n’ = n − m + 2.

Пример 11.9. Для данных примера 11.2 определить степень тесноты частной связи между стоимостью квартиры и удаленностью ее от областного центра при фиксированном значении площади квартир.

Решение. Воспользуемся выражением (11.14):

Зависимость стоимости квартиры от ее удаленности от областного центра без учета площади квартиры оказалась ниже (ryz = −0,988). Это можно объяснить тем, что площадь квартиры весьма существенно влияет на ее цену.

11.5. Ранговая корреляция

Ранговые коэффициенты корреляции могут использоваться для измерения связи как порядковых, так и количественных признаков. При этом анализ кон-

149

кретных значений признаков не проводится, используется лишь информация об их взаимной упорядоченности типа «больше−меньше», которая не меняется при замене единиц измерений. Исходные данные представляется упорядочениями (ранжировками) n объектов (выборок) по некоторым свойствам.

Ранги – это порядковые номера значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранги называют связными, а их значение считаем равным средней арифметической по всей данной группе.

11.5.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена между переменными X и Y

находится по формуле

где ri и si − ранги i-го объекта по переменным X и Y, n − число пар наблюдений. Формула (11.15) справедлива при отсутствии в ранжировках связных ран-

гов. Если они имеются, то коэффициент Спирмена определяют в виде:

mr, ms − число групп одинаковых рангов у переменных X и Y,

tri, tsi − число рангов, входящих в i-ю группу неразличимых рангов переменных X и Y.

Очевидно, что ρx/y = ρy/x. Если ранги всех объектов равны (ri = si, i = 1, … , n), то ρx/y = 1 (случай полной прямой связи). При полной обратной ранговой связи ранги объектов расположены в обратном порядке. Во всех остальных случаях

имеет распределение Стьюдента с k = n − 2 степенями свободы. Поэтому ρx / y значим на уровне значимости α, если расчетное значение tcalc > tα/ 2100% (n − 2) .

Пример 11.10. Для данных примера 11.2 определить с помощью коэффициента Спирмена зависимость между стоимостью квартиры и ее удаленностью от областного центра. Проверить значимость связи для α = 0,05.

Решение. Составим таблицу:

150