9. Составление системы алгебраических неоднородных уравнений для определения значений постоянных интегрирования.

Выражения (12) и (13) в окончательном виде преобразуются к следующим уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые в окончательном виде образуют систему двух алгебраических уравнений:

(14)

10. Решение системы алгебраических неоднородных уравнений. Выражения для определения значений постоянных интегрирования.

Для решения системы уравнений (14) можно воспользоваться методом миноров, тогда для системы двух уравнений, представляемых в общем виде:

(15)

значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:

; (16)

, (17)

где:

Δ₀ – определитель системы уравнений (20), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:

Δ_А - определитель системы уравнений (20), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:

Δ_С - определитель системы уравнений (20), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:

Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:

,

которые после несложных преобразований примут вид:

.

Тогда, учитывая выражения (16) и (17), значения величин А и С будут определяться формулами:

(18)

(19)

в которых введены обозначения:

(20)

(21)

11. Выражение общего интеграла дифференциального уравнения изгиба призматической балки.

Общий интеграл (6) дифференциального уравнения (5), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

12. Выражение общего интеграла дифференциального уравнения, приведенное к виду с безразмерными значениями переменного аргумента.

(22)

13. Выражение для определения значений изгибающих моментов в сечениях балки.

14. Выражение для определения значений изгибающих моментов, приведенное к виду с безразмерными значениями переменного аргумента.

(23)

15. Выражения для определения значений изгибающего момента в районе упруго защемлённого конца балки.

(24)

16. Выражение для определения значений коэффициента опорной пары через значения коэффициента податливости упругого защемления.

Коэффициент опорной пары определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки , к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления :

(25)

Значения коэффициента опорной пары могут изменяться в пределах от = 0, что характеризует фактически абсолютно жёсткое опирание балки на свободную шарнирную опору с моментом = 0, до значения = 1, что характеризует абсолютно жёсткое защемление конца балки с отсутствием какого-либо поворота поперечного сечения балки в этом районе.

Значение изгибающего момента в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:

,

тогда получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:

. (26)

Из формулы (26) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары :

. (27)

17. Выражения для определения значений постоянных интегрирования через значения коэффициента опорной пары.

Использование формулы (27)позволяет выразить значения коэффициентов А’ и С’ при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (20) и (21), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары :

;

.

18. Выражение общего интеграла дифференциального уравнения изгиба балки (прогибов в сечениях балки), приведенное к виду с безразмерными значениями переменного аргумента, через значения коэффициента опорной пары.

.

19. Выражение для определения значений изгибающих моментов в сечениях балки через значения коэффициента опорной пары.

.

20. Выражение для определения значений перерезывающих сил в сечениях балки, приведенное к виду с безразмерными значениями переменного аргумента, через значения коэффициента опорной пары.

Из формулы Журавского:

.

21. Расчёт значений и построение эпюр изменения по длине балки значений прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил.

;

.

Значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления будет равно:

.

Для построения эпюры значений изгибающих моментов М(х) в пролете рассматриваемой балки воспользуемся формулой (23), на основании которой получим следующие значения изгибающих моментов в конкретных точках:

X/L

M_оп

Строим эпюру по полученным значениям М(х).

M,кН*м

Рис. 2 Эпюра изгибающих моментов М(х)

Определим значения перерезывающей силы:

Определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления:

X/L

N,кН

Рис. 3 Эпюра перерезывающих сил

На основании выражения (22) для общего интеграла дифференциального уравнения изгиба балки можно определить значения прогиба балки в следующих конкретных точках:

Строим эпюру по полученным значениям W(х).

W,мм

X/L

Рис. 3 Эпюра прогиба балки