
- •Множества и отображения.
- •Отношения эквивалентности. Факторизация отображений
- •Элементы теории чисел и общей алгебры
- •Введение
- •Элементарная теория чисел
- •II.2. Сравнения в ℤ
- •Функция Эйлера. Теоремы Эйлера, Ферма и др.
- •Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса
- •Сравнения для чисел сочетаний
- •II. Алгебраические структуры
- •II. 1. Множества с бинарными операциями. Группоиды, полугруппы, моноиды
- •Симметрическая и знакопеременная группы
- •Циклические группы
- •Подкольца и идеалы колец.
- •Морфизмы колец.
- •Классы вычетов и факторкольца.
- •Характеристика кольца (поля).
- •Многочлены.
- •Деление многочленов над целостным кольцом.
- •Корни многочленов
- •Производные многочленов. Характеризация корней многочленов
- •Интерполяционная формула Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Элементы теории полей.
- •Поле разложения.
- •Строение конечных полей.
- •Некоторые результаты о многочленах над конечными полями.
II. Алгебраические структуры
II. 1. Множества с бинарными операциями. Группоиды, полугруппы, моноиды
Бинарной
алгебраической операцией
(или законом композиции)
на непустом множестве S
называется отображение
:
,
сопоставляющее паре
,
элементов
,
однозначно определённый элемент
,
.
На множестве
может быть задано много
операций
.
(Если, например,
конечно, то число способов равно
,
где
−
число элементов в
.)
Желая выделить одну их них, например,
,
пишут
,
.
Такой объект называют бинарной
алгеброй, или группоидом.
Вместо
,
часто
пишут
,
а саму операцию обозначают каким-либо
символом (
,
,
,
и т.п.).
Замечание.
Наряду с бинарными операциями рассматривают
более общие
-арные
операции (унарные при
,
тернарные при
и т.д.). Связанные с ними алгебраические
структуры (системы) составляют предмет
исследования т.н. универсальных алгебр.
Бинарная операция на множестве называется ассоциативной, если
,
для любых
,
,
.
Группоид с ассоциативной операцией называют полугруппой.
Пример
неассоциативного группоида.
На множестве
определим операцию
как
.
Операция неассоциативна:
,
но
.
Теорема.
Если бинарная операция
на множестве
ассоциативна, то значение выражения
не
зависит от расстановки в нём скобок.
Доказательство.
При
,
или
утверждение очевидно. Для
достаточно, применяя индукцию, показать,
что
для
любых
,
.
По предположению индукции расстановка
скобок в
не
существенна; в частности,
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
К такому же виду приводится и правая часть доказываемого равенства (1). ∎
Элемент
называется нейтральным
относительно операции
,
если
для
любого
.
Полугруппу
,
с элементом
называют моноидом
(или полугруппой с
единицей) и обозначают
,
,
.
В полугруппе (группоиде) может быть не более одного нейтрального элемента: если
,
−
нейтральные элементы, то
Группоид (полугруппу) , называют подгруппоидом (подполугруппой) группоида (полугруппы) , , если
и
для любых
,
.
В
этом случае говорят, что подмножество
замкнуто относительно
операции
.
Моноид
,
,
называют подмоноидом
моноида
,
,
,
если выполняется
и
.
Элемент
моноида
,
,
называется обратимым,
если найдётся элемент
такой, что
(очевидно, что тогда и
обратим). Если таким же
свойством обладает и элемент
,
т.е.
,
то из равенств
следует, что элемент
является на самом деле единственным
(по отношению к
).
Это позволяет говорить об обратном
элементе
,
к (обратимому)
элементу
,
со свойствами:
,
.
Если
,
−
обратимые элементы моноида
,
,
,
то их произведение
−
также обратимый элемент,
поскольку
,
.
Очевидно, что
−
обратимый элемент. Следовательно, имеет
место
Теорема. Множество всех обратимых элементов моноида , , замкнуто относительно операции ∗ и образует подмоноид в , , .
Группы
Определение группы. Моноид , , , все элементы которого обратимы, называется группой.
Другими
словами, группа −
это множество
с бинарной операцией
,
для которых выполняются следующие
аксиомы:
.
(Замкнутость
операции.)
,
.
.
(Ассоциативность
операции.)
,
.
(Существование
нейтрального элемента.)
∃
.
.
(Существование
обратного элемента.)
.
Замечание. Возвращаясь к введённым выше алгебраическим структурам, мы наблюдаем среди них следующую иерархию: пара , является группоидом, если выполняется аксиома ; полугруппой, если выполняются аксиомы и ; моноидом, если выполняются аксиомы , и ; группой, если выполняются аксиомы , , и .
Удобно
считать, что наряду с бинарной операцией
в группе определена унарная операция
взятия обратного
:
,
.
Справедливы формулы:
,
.
Естественным образом определяются степени элементов с очевидными свойствами:
(
раз),
(
раз),
,
;
,
(
,
,
.
Переставлять
элементы в выражении
,
вообще говоря, нельзя (т.е.
).
Если
,
то элементы называются перестановочными,
или коммутирующими.
Если любые два элемента
группы коммутируют, то группа
называется коммутативной,
или абелевой (в
честь норвежского математика Риль
Хенрика Абеля (
-
)).
Операция
в группе чаще всего обозначается либо
символом
(сложение), либо
символом
(умножение). При этом
группа называется соответственно
аддитивной
или мультипликативной,
её нейтральный элемент −
соответственно нулём
(
)
или единицей
(
).
В аддитивной группе элемент, элемент,
обратный к элементу
,
называется противоположным
и обозначается
,
а вместо
пишут
.
В мультипликативной группе вместо
обычно пишут
,
опуская символ операции.
Примеры
аддитивных групп. 1)
,
,
,
,
,
,
,
–
аддитивные
группы кольца
и полей
,
,
.
Пишут просто
,
,
,
.
2) Любое
кольцо
по сложению −
абелева группа. В частности, кольцо
многочленов
,…,
]
и кольцо матриц
,
порядка
над полем
−
абелевы группы. 3)
Любое векторное пространство
над полем
относительно сложения − абелева группа.
4)
,
1,…,
− полная
система наименьших неотрицательных
вычетов по модулю
с операцией сложения по модулю
.
Примеры
мультипликативных групп.1)
,
,
−
мультипликативные группы полей
,
,
.
2)
−
множество обратимых элементов любого
кольца
с единицей относительно умножения. В
частности,
=
;
,
− множество
обратимых матриц из
.
3)
−
всех (вещественных и комплексных) корней
,
,
1,…,
,
−
мнимая
единица,
уравнения
− мультипликативная абелева группа.
4)
− множество
вращений правильного
-угольника
в плоскости и в пространстве −
некоммутативная группа (при
).
Далее
чаще используется мультипликативная
форма записи операции. Группа обычно
обозначается одной буквой без указания
операции. Множество всех элементов
группы
называется основным
множеством группы и
обозначается той же буквой
.
Если основное множество конечно, то
группа называется конечной;
в противном случае она называется
бесконечной.
Число элемент конечной группы называется
её порядком.
Группа
порядка 1 называется единичной,
или тривиальной.
О бесконечной группе говорят, что она
имеет бесконечный
порядок. Для обозначения
порядка группы (мощности основного
множества) используются равноправные
символы Card
(кардинальное число),
и (
).
Если , − подмножества (основного множества) группы, то полагаем
,
,
.
Подгруппой
группы
называется подмножество в
само являющееся группой относительно
той же операции, что и в
.
Другими словами, подмножество
является подгруппой тогда и только
тогда, когда
(
единица в
)
и замкнуто относительно умножения и
взятия обратного, т.е.
,
(на самом деле здесь даже равенства).
Если
−
подгруппа в
,
то пишут
;
если при этом
,
то
называется собственной
подгруппой и это
обозначается как
.
Примеры.