II.2. Сравнения в ℤ

Пусть . Числа , называются сравнимыми по модулю , если при делении на они дают одинаковые остатки. При этом пишут

.

Запись означает, что для чисел и сравнение не имеет места.

Отметим следующие свойства сравнений:

;

;

;

и

(свойства означают, что отношение сравнимости рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности на множестве ℤ);

и ,

где символ может быть заменён на любой из символов: (сложение), − (вычитание) или ∙ (умножение), но на один и тот же в обеих частях сравнения, так что сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемножать);

≡ , ;

если − многочлен с целочисленными коэффициентами, то

;

;

если , , , , нод , , то

,

т.е. обе части сравнения можно разделить на любой общий делитель при условии, что этот делитель взаимно прост с модулем;

(mod ),

т.е. обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель;

, где нок , ;

, , и ;

, , .

Полная системам вычетов по модулю . Пусть −фиксированное число. Для произвольного определим класс чисел , включая в него все числа, сравнимые с по модулю :

.

Нетрудно установить, что

,

.

Другими словами, классы , ,…, попарно не пересекаются, и любой класс совпадает с одним из них. Следовательно, имеет место следующее разбиение на непересекающиеся классы:

.

Каждое число из класса называется вычетом по модулю по отношению ко всем числам того же класса. Взяв по одному вычету из каждого класса, получим систему вычетов, которую называют полной системой вычетов по модулю . В частности, множество

, 1, …,

образует полную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю . В полной системе вычетов по модулю любые два вычета попарно несравнимы по модулю . Если и принадлежат одному и тому же классу вычетов по модулю , то нод ( , ) = нод ( , ).

Теорема. Пусть , и − любые числа, нод ( , ) = 1. Тогда, если пробегает полную систему вычетов по модулю , то также пробегает полную систему вычетов по модулю .

Доказательство. Если , то из свойств сравнений следует, что . Поэтому, если , то . ∎

Приведённая система вычетов по модулю . Функция Эйлера.

В разбиении на классы , ,…, удалим те классы , для которых нод , . Из оставшихся классов (для них нод , ) возьмём по одному вычету. В результате получим систему вычетов, которую называют приведённой системой вычетов по модулю . Как ив случае полной системой вычетов выбор приведённой системы вычетов не однозначен.

Теорема. Пусть нод ( , . Тогда, если пробегает приведённую систему вычетов по модулю , то также пробегает приведённую систему вычетов по модулю .

Доказательство. Если , то . Поэтому, если (mod ), то . Остаётся учесть, что нод ( , . ∎

Функция Эйлера определяется как количество чисел среди , , …, , взаимно простых с . Любая приведённая система вычетов по модулю содержит вычетов.

Первые значений :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1			2		2		4	6	4		4

Далее будет установлена формула для этой функции.