Элементы теории чисел и общей алгебры

1. Введение

I. 1. Предмет алгебры и теории чисел

I. 2. Основные понятия и обозначения из теории множеств математической логики

Литература к разделу:

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру.− М.: Наука, 1977.

2. Виноградов И. М. Основы теории чисел.− М.: Наука, 1965.

2. Элементарная теория чисел

Теория чисел занимается изучением свойств чисел. В данном разделе рассматриваются некоторые понятия и результаты классической теории чисел на основе арифметических свойств делимости и простых комбинаторных соображений без привлечения специальных понятий геометрии, алгебры и анализа, иррациональных и комплексных чисел.

Замечание. Традиционно в теории чисел неэлементарными считаются доказательства , в которых используются мнимые числа. Геометрические, алгебраические, аналитические, вероятностные методы − предмет более продвинутого изучения.

Далее используются обозначения:

ℕ = {1, 2, 3, …} − множество натуральных чисел;

ℤ = {0, 1, 2, 3, …} − множество целых чисел.

II.1. Теория делимости в ℤ

Число называется делителем числа , если для некоторого . В свою очередь называется кратным числа . Факт делимости обозначается как (читается: делит , или делится на ), а отрицание делимости как (читается: не делит , или не делится на ). Отношение делимости транзитивно: если и , то . Отметим также: если , и , то .

Натуральное число называется простым, если все его натуральные делители исчерпываются числами и . Натуральное число , не являющееся простым, называется составным. Число играет особую роль, его обычно не относят ни к простым, ни к составным. Такое соглашение полезно при формулировке большинства теоретико-числовых результатов.

Теорема Евклида. Множество ℙ простых чисел бесконечно.

Доказательство (от противного). Допустим, что множество ℙ конечно и состоит из чисел , ,…, .Тогда число является составным и представимо в виде для некоторых и , и, следовательно,

.

Последнее равенство, однако, невозможно, так как делителями единицы в ℤ являются лишь 1 и −1. Значит, не может быть конечным множеством. ∎

Теорема (о делении в ℤ с остатком). Для любых и существуют единственные , , такие, что

, .

Числа и называют соответственно частным и остатком от деления на .

Доказательство. Рассмотрим множество чисел

, .

Так как , и , то ( не пусто). Пусть − наименьшее число в . По условию, . Если допустить, что , то , а это противоречит выбору числа . Значит, . Остаётся доказать, что числа и могут быть выбраны единственным способом. Допустим, что существуют , такие, что , . Тогда Для определённости, считаем, что . Тогда

и . ∎

Для чисел и введём операции div и mod, полагая , , где и − соответственно частное и остаток от деления на .

Пусть числа , не равны нулю одновременно. Наибольшее такое, что и , называется наибольшим общим делителем чисел и и обозначается символом , (или как нод , , если возникает коллизия обозначений с векторами).

Алгоритм Евклида вычисления нод , основан на использовании следующих свойств:

1) , ;

2) , , ;

3) , ,

и осуществляется по схеме:

a:=abs(a); b:=abs(b);

while (a >0)&(b >0) do {

if a>b then a:=a mod b else b:=b mod a};

нод:=a+b.

Этот алгоритм затрачивает O времени (по числу арифметических операций). Анализ этого и других алгоритмов вычисления нод см. у Д. Кнута (т. 2, § 4.5.2, 4.5.3).

Если , , то числа и называются взаимно простыми.

Теорема. Пусть , , . Тогда существуют , такие, что

, ;

в частности, если и взаимно просты, то для некоторых , .

Доказательство. Положим

, }.

Выберем в наименьшее положительное число . Запишем число в виде , где . Имеем . Поскольку

, то (по условию выбора ), и, следовательно, . Аналогично получаем, что . Пусть − любой общий делитель чисел и . Тогда

, ,

откуда следует, что число обладает свойствами , . ∎

Наибольший общий делитель чисел , , …, может быть вычислен по схеме:

нод ( , , …, ) = нод ( , , ,…, )).

Лемма. Пусть , , − простое число. Тогда, если , то либо , либо (либо и то, и другое).

Доказательство. Допустим, что . Тогда , и для некоторых , . Умножая обе части последнего равенства на , получим . Так как , то . ∎

Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число разлагается в произведение простых чисел, причем единственным способом, если не учитывать порядок сомножителей.

Доказательство. Факт представления числа в виде произведения простых сомножителей очевиден. Докажем единственность такого представления. Пусть

− два разложения числа на простые сомножители , . Тогда из предыдущей леммы следует, что делит одно из чисел , , …, . Пусть, для определённости . Поскольку − простое число, то = . Переходя к равенству , получаем аналогично, что = , и так далее. ∎

В разложении числа на простые множители некоторые из них могут повторяться. Собирая одинаковые множители, получим

,

где − различные простые числа, , , …, . Такое преставление называется каноническим разложением числа на простые множители.

Пример. .

Замечание. Доказать данную теорему, опираясь только на мультипликативные свойства (т.е. свойства умножения и деления) целых чисел невозможно. Необходимо привлечение аддитивных свойств (т.е. свойств сложения). Это можно проиллюстрировать на примере множества , 4, 6,…} чётных чисел. Оно замкнуто относительно умножения: , . Всякое число представимо в виде произведения чисел ,…, , каждое из которых неразложимо в . Такие числа назовём -простыми. К ним относятся 2, 6, 10, 16,…,т.е. числа вида . Очевидно, что первая часть Основной теоремы выполняется. Однако вторая часть (об однозначности разложения) для неверна, поскольку некоторые числа из имеют более одного разложения в произведение -простых чисел. Например, 180 = 6∙30 = 18∙10, где ни одно из чисел 6, 30, 18, 10 не разлагается в произведение чётных чисел, т.е. эти числа являются -простыми. Такими же свойствами обладают множества , , ,… , , , ,… и др.(См. Радемахер и Теплиц, с. 249, прим. 39.)

Наименьшее общее кратное чисел , , , определяется как наименьшее число такое, что и , и обозначается символом , (или нок , ).

Теорема. Пусть , . Тогда

, , .

Доказательство. Пусть и − канонические разложения чисел и , , , , , , …, . Тогда