Отношения эквивалентности. Факторизация отображений
Бинарные отношения. Для любых двух множеств и любое подмножество
называется
бинарным
отношением
между
и
(или просто на
,
если
).
Для упорядоченной пары
,
используют обозначение
и говорят, что элемент
находится
в отношении
к элементу
.
Будем писать
,
,
желая подчеркнуть, что на множестве
задано бинарное отношение
.
Каждому отображению сопоставляется подмножество
,
,
,
называемое
графиком
отображения. График
,
очевидно, является отношением между
и
,
но не всякое отношение может служить
графиком некоторого отображения.
Необходимое и достаточное условие
заключается в том, чтобы каждому
соответствовал ровно один элемент
с
.
Задание
,
и Γ(
)
однозначно восстанавливает отображение
.
Отношение
эквивалентности.
Бинарное отношение ∼
на
называется отношением
эквивалентности,
если для всех
,
выполнены следующие условия:
(1)
(рефлексивность);
(2)
⟹
(симметричность);
(3)
и
⟹
(транзитивность).
Запись
означает отрицание эквивалентности.
Подмножество
всех элементов , эквивалентных данному , называется классом эквивалентности (иногда смежным классом), содержащим элемент .
Ввиду
элемент
принадлежит классу
.
Любой элемент
называется
представителем
класса
.
Утверждение.
Множество классов эквивалентности по
отношению
является разбиением множества
на пересекающиеся подмножества. Это
разбиение называется фактор-множеством
множества
по эквивалентности
и обозначается через
.
Обратно,
если имеется некоторое разбиение
множества
на непересекающиеся подмножества
,
то
будут классами эквивалентности по
некоторому отношению эквивалентности
.
Доказательство. Самостоятельно или см. Кострикин, с. 48-49.
Факторизация отображений. Сюръективное отображение
множества на фактормножество , при котором каждому элементу из ставится в соответствие класс эквивалентности, содержащий этот элемент, называется естественным отображением (или канонической проекцией) множества на фактормножество .
Пусть
,
−
два множества и
−
отображение. Бинарное отношение
,
определяемое как
для
любых
,
,
очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, следовательно, является отношением эквивалентности на . Классы эквивалентности по данному отношению имеют вид:
[
}.
Отображение
индуцирует отображение
,
определяемое правилом
,
или, что то же самое,
,
где
естественное отображение
на фактормножество
.
Так как
,
то определение
не зависит от выбора представителя
класса
,
т.е.
определено корректно. Отображение
инъективно. Это следует из того, что
.
Представление
в виде
задаёт факторизацию
(разложение) отображения
в произведение сюръективного отображения
и инъективного отображения
.
Биективность
равносильна сюръективности
.
Если
−
ещё
одно отображение, для которого выполнено
соотношение
,
то из
следует,
что на самом деле
.
Частично упорядоченные множества и их функции и обращение Мёбиуса.
Отношение на множестве называется антисимметричным, если для любых , выполняется следующее условие:
и
.
Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением частичного порядка на и обозначается через ≼. Отношение ≼ называется линейным порядком на , если для любых , выполняется условие сравнимости и :
или
.
Множество с заданным на нём отношением частичного порядка называется частично упорядоченным множеством.
Частичное упорядочение − понятие весьма общее. Два важных примера:
)
Элементами множества
являются подмножества некоторого
конечного множества
,
а отношение
(или
)
означает, что
есть подмножество
.
)
Элементами множества
являются натуральные
числа,
а отношение
(или
)
означает, что
−
делитель числа
.
Целые
числа с естественным порядком
образуют линейно упорядоченное множество.
Функция и обращение Мёбиуса на частично упорядоченных множествах. Временно опущено.
Элементы комбинаторики. Временно опущено