Поле разложения.

Определение. Пусть − унитарный многочлен степени . Расширение поля называется полем разложения многочлена , если

1) разлагается на линейные множители … ;

2) , , ), т.е. получается из присоединением корней , , многочлена .

Поле разложения − это минимальное поле, в котором разлагается на линейные множители.

Заметим, что условие унитарности (нормированности) многочлена (равенство старшего коэффициента единице) на самом деле здесь несущественно и используется только для удобства.

Теорема. (Существование поля разложения.) Для всякого многочлена степени существует поле разложения , причём .

Доказательство. Пусть

− разложение на неприводимые нормированные множители в . Присоединив сначала к полю корень неприводимого многочлена , мы получим поле , над которым от , а, следовательно, от можно отделить множитель , т.е. , где .

Повторяя этот приём к многочлену и его корню , мы построим поле . Продолжая так шаг за шагом, мы придём к полному разложению на линейные множители некоторым расширением поля . Либо , либо его некоторое подполе будет полем разложения для .

Так как , то

В доказательстве теоремы слишком много произвола, чтобы можно было говорить о единственности поля разложения. Следующее утверждение вносит в этот вопрос определённую ясность.

Теорема. (Единственность поля разложения.) Любые два поля разложения многочлена изоморфны. Соответствующий изоморфизм, оставляя неизменным поле , осуществляет некоторую перестановку корней многочлена .

Единственность поля разложения вытекает из приводимой ниже теоремы.

Изоморфизм полей разложения. Пусть , − два поля разложения многочлена . Мы хотим доказать, что они изоморфны. Здесь нам понадобится понятие продолжения изоморфизма. Поясним это на примере простого расширения. Пусть ,…, и ,…, − корни в и соответственно. Предположим, что и корни одного и того же неприводимого многочлена Тогда отображение

определяет изоморфизм :

Он тождествен на , т.е. является продолжением тождественного изоморфизма .

Чтобы имелась возможность итерировать эту конструкцию, нужно её несколько усилить:

Лемма. Пусть дан изоморфизм полей , и пусть , − корни неприводимых многочленов и соответственно:

Тогда отображение

↦ ,

где , является продолжением до изоморфизма ℱ( ) ⟶

Применяя этот результат надлежащее число раз, получаем следующее утверждение:

Теорема. Пусть − изоморфизм полей, переводящий многочлен над в многочлен над . Тогда его можно продолжить до изоморфизма поля разложения над ℱ с полем разложения над .

Единственность поля разложения (с точностью до изоморфизма) следует из частного случая этой теоремы: .

Строение конечных полей.

Число элементов конечного поля.

Напомним определение векторного пространства над полем.

Определение. Векторное пространство над полем ℱ − это аддитивно записанная абелева группа 𝒱, в которой определено умножение на скаляры, т.е. отображение

, ,

удовлетворяющее следующим аксиомам , ; , , − единица в ):

1) ;

2) ;

3) ( ;

4) .

Элементы векторного пространства называют векторами, а элементы поля ℱ − скалярами. Из аксиом 1) − 4) вытекают следующие свойства векторного пространства ( , нули в 𝒱 и ℱ соответственно):

, , .

Пусть − произвольное множество векторов из . Линейной комбинацией векторов называется вектор, определённый формулой

в которой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю.

Множество называется линейно независимым множеством, если все нетривиальные комбинации векторов из отличны от нуля. Любое линейно независимое множество содержится в некотором максимальном линейно независимом множестве , которое перестаёт быть линейно независимым после присоединения к нему любого элемента из .

Каждый вектор может быть однозначно представлен в виде линейной комбинацией векторов :

В связи с этим максимальное линейно независимое множество называют базисом. Все базисы имеют одинаковую мощность, которая называется размерностью векторного пространства и обозначается . Если данная мощность конечна, пространство называется конечномерным; в противном случае − бесконечномерным. Конечномерное векторное пространство с базисом из элементов называется -мерным пространством.

Теорема. Пусть − конечное поле характеристики , содержащее элементов. Тогда для некоторого .

Доказательство. Поле можно рассматривать как векторное пространство над простым полем . В этом нетрудно убедиться, проверяя выполнимость аксиом 1) − 4). Пусть ,…, − базис над . Тогда произвольный элемент представим в виде линейной комбинации , где , , . Очевидно, что число элементов поля равно числу всевозможных наборов , , Поскольку поле содержит элементов, то общее число таких наборов равно . ∎

Теорема. Для любого простого числа и любого натурального существует поле , содержащее элементов.

Доказательство. Рассмотрим многочлен . По теореме существует поле разложения многочлена . Обозначим это поле через . Очевидно, что . Так как и нод , , то многочлен не имеет кратных корней, и поле ℱ содержит различных элементов, удовлетворяющих уравнению (или, что то же самое, ). Остаётся показать, что соответствующее множество элементов, которое мы обозначим через , и является искомым полем . Отметим предварительно, что в поле характеристики для любых элементов имеет место тождество , если . Кроме того, нуль и единица поля лежат в множестве .

Пусть , . Тогда, учитывая, что и , имеем:

;

∈ ;

, .

Другими словами, множество замкнуто относительно сложения и умножения, а также относительно взятия обратного элемента. Отсюда следует, что − поле. Очевидно, что в данном случае .∎

Следствие. (Теорема Ферма.) Каждый элемент поля удовлетворяет тождеству , или, что эквивалентно, является корнем уравнения .

Таким образом, в поле имеет место разложение

Теорема. Мультипликативная группа ненулевых элементов поля циклическая.

Доказательство. Напомним, что (мультипликативный) порядок элемента определяется как наименьшее , при котором . Пусть − элемент с наибольшим порядком среди элементов , . Тогда , а по теореме порядок любого элемента является делителем числа . Следовательно, любой элемент является корнем уравнения Это возможно лишь в том случае, если . Таким образом, , и

, , ,

− циклическая группа. ∎

Корни из единицы.

Определение. Элемент порядка называется примитивным элементом поля , или образующим элементом группы . Очевидно, что является первообразным корнем -ой степени из единицы поля .

По теореме примитивным элементом поля является также любой элемент , если взаимно просто с . Всего имеется таких элементов, где − функция Эйлера.

Из теоремы непосредственно вытекает следующее

Утверждение. Поле с элементами является простым алгебраическим расширением поля , т.е. , где − любой первообразный корень уравнения

Лемма. Если , ; , то тогда и только тогда, когда . Аналогично, в произвольном поле делится на без остатка тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Представим число в виде , где . Тогда

).

Число всегда делится на , а последнее слагаемое меньше и, следовательно, является остатком от деления на , который равен нулю тогда и только тогда, когда . Так же доказывается второе утверждение леммы (с заменой на ).∎

Теорема. Пусть . Тогда каждое подполе поля имеет порядок , где .

Обратно, если , то существует ровно одно подполе поля .

Доказательство. Пусть − подполе поля . Тогда для некоторого . Очевидно, . Порядок примитивного элемента поля , равный , является делителем числа . Тогда по лемме . Поле образуют элементы , ξ , ,…, , являющиеся корнями многочлена Отметим попутно, что ξ , где − примитивный элемент поля , .

Обратно, если , то число делит число . Это означает, что многочлен делит многочлен . Следовательно, корни многочлена являются корнями многочлена и принадлежат полю . С другой стороны, множество корней многочлена само образует поле из элементов, являющееся, естественно, подполем в . Единственность подполя вытекает из того факта, что в любом поле порядка выполняется тождество = и поэтому состоит исключительно из корней многочлена . ∎