Элементы теории полей.

Если − подполе поля , то называют расширением поля . Далее запись означает, что − расширение поля . Если − подполе поля , а − подполе поля , т.е. , то называют промежуточным полем расширения . Цепочку расширений

,

где − промежуточное поле расширения , , называют -этажной башней полей.

Любое расширение можно рассматривать как векторное пространство над полем (относительно сложения в и умножения на элементы поля ). Размерность этого пространства называют степенью расширения и обозначают . Если эта степень конечна, то расширение называют конечным, в противном случае − бесконечным. Всякий базис поля как векторного пространства над называют базисом расширения .

Теорема. Пусть − промежуточное поле расширения . Расширение конечно тогда и только тогда, когда конечны расширения и . В случае их конечности

,

причём если ,…, − базис расширения и ,…, − базис расширения , то элементы , , , составляют базис расширения .

Доказательство. Предположим сначала, что расширения и конечны. Тогда любой элемент записывается в виде

В свою очередь,

Следовательно,

т.е. − линейная комбинация над элементов . Предположим, что элементы линейно зависимы над , т.е. при некоторых , не равных нулю одновременно. Тогда

для всех 1 ≤ ≤ , 1 ≤ j ≤ , поскольку элементы ,…, линейно независимы над , а элементы ,…, линейно независимы над . Другими словами, элементы составляют базис расширения и .

Обратно, если , то и , поскольку − подпространство в . Если , , − базис пространства над , то произвольный элемент будет линейной комбинацией элементов , , с коэффициентами из и, ввиду , тем более с коэффициентами из . Поэтому . ∎

Определение. Пусть − расширение поля , . Элемент называется алгебраическим над (относительно) , если он является корнем некоторого ненулевого многочлена . Элемент , не являющийся алгебраическим над , называется трансцендентным над . Расширение называется алгебраическим, если всякий элемент из алгебраичен над .

Теорема. Всякое конечное расширение алгебраично над .

Доказательство. Пусть . Тогда степени , , , , любого элемента

линейно зависимы над , т.е.

при некоторых , не равных нулю одновременно. Так что − корень некоторого ненулевого многочлена . Значит, − алгебраический элемент над . ∎

Определение. Пусть − расширение поля и − алгебраический элемент над . Выберем среди всех ненулевых многочленов , для которых , нормированный многочлен наименьшей степени. Он называется минимальным многочленом элемента относительно поля . Под степенью элемента над полем понимается степень его минимального многочлена.

Отметим следующие свойства минимального многочлена :

1) если и , то ;

2) − неприводимый в многочлен.

Действительно, 1) если , то − остаток от деления на − имел бы своим корнем, что противоречит выбору , так как в этом случае − ненулевой многочлен и deg . Далее, 2) если допустить, что , где , и , , то является корнем либо , либо , что также противоречит выбору .

Определение. Пусть − подполе поля и − любое подмножество в . Определим поле как пересечение всех подполей поля , содержащих одновременно и ; оно называется расширением поля , полученным присоединением элементов множества . Если

, , − конечное множество, то будем писать , , . Если состоит из одного элемента , то поле называется простым расширением поля , а − образующим (или порождающим) элементом этого расширения.

Теорема. Пусть , − любые подмножества расширения поля . Тогда

.

Доказательство. Поле содержит поле и множество , а следовательно, и поле . Обратно, поле содержит множество , а следовательно, поле . ∎

Следствие. Пусть , , . Тогда

, , ).

Замечание. Отметим, что поле , , образовано в точности дробями

где , − многочлены от переменных c коэффициентами из поля и , , ) ≠ 0.

Уместно пояснить также, что записи , , и , , отличаются тем, что круглые скобки обозначают всегда расширение до поля, т.е. образование всех рациональных выражений (дробей), а квадратные обозначают расширение до кольца, т.е. образование всех целых выражений ,…, . ∎

Изучим строение простых расширений поля . Далее два расширения и поля будем называть эквивалентными (относительно ), если существует изоморфизм , переводящий элементы поля в себя.

Теорема. Пусть − расширение поля , содержащее трансцендентный элемент относительно поля . Тогда поле эквивалентно полю рациональных дробей от переменной с коэффициентами в .

Доказательство. Напомним, что элементами поля являются дроби , где , и − ненулевой многочлен. При этом дроби и являются равными, т.е. представляют один и тот же элемент поля , если − нулевой многочлен. Поскольку для ненулевых многочленов, то для дроби имеет смысл значение . Разные дроби (как разные элементы поля ) имеют разные значения в . Действительно, если = , то , откуда следует, что

− нулевой многочлен, и дроби и представляют один и тот же элемент поля . Таким образом, между дробями и значениями можно установить взаимно однозначное соответствие. Оно сохраняется и при операциях сложения и умножения:

Поскольку поле состоит в точности из элементов , где , и − ненулевой многочлен, то поля и изоморфны. Установленный изоморфизм переводит элементы поля в себя. Поэтому поля и эквивалентны. ∎

Теорема. Пусть − расширение поля , содержащее алгебраический элемент над , и пусть − минимальный многочлен элемента степени . Тогда:

1) простое алгебраическое расширение эквивалентно факторкольцу ;

2) [ ] = и {1, , …, − базис векторного пространства над ;

3) каждый элемент алгебраичен над , и его степень − делитель числа .

Доказательство. 1) Рассмотрим отображение , определяемое следующим образом: = для любого ∈ . Очевидно, что является гомоморфизмом колец, и Ker = { ∈ }= ( ). Пусть − образ отображения , т.е. множество значений многочленов ∈ при . Отметим, что

и .

Согласно теореме о гомоморфизмах колец имеем . Так как – поле (см. ), то и – поле, но тогда, по определению простого расширения, . Очевидно, что поля и не только изоморфны, но и эквивалентны.

2) Так как , то любой элемент можно записать в виде для некоторого . Пусть − остаток от деления на . Тогда = . Так как , то является линейной комбинацией элементов , , , с коэффициентами из . Остаётся показать, что элементы , , , линейно независимы над . Для этого предположим противное: пусть

,

где и не все . Полагая , имеем: − ненулевой многочлен, и , но это противоречит выбору минимального многочлена . Следовательно, элементы , , , линейно независимы над и

3) Так как − конечное расширение поля , то любой элемент алгебраичен над . Пусть − степень элемента над . Тогда, учитывая теорему и тот факт, что − подполе поля , имеем

,

откуда следует, что . ∎

Теорема. Пусть и − два расширения поля , и пусть и − алгебраические над полем элементы, имеющие олин и тот же минимальный многочлен степени . Тогда отображение

где , , − произвольные элементы, является изоморфизмом поля на поле , причём единственным, при котором и , если .

Доказательство. Утверждение вполне очевидно. ∎

В теоремах и мы предполагали, что задано надполе , содержащее поле и элемент , и исследовали строение поля внутри . Это было необходимо, чтобы выражения, содержащие , имели смысл. Теперь поставим задачу иначе. Пусть задано поле . Требуется найти его расширение такое, что либо (задача 1) элемент трансцендентен над , либо (задача 2) элемент − корень любого наперёд заданного неприводимого многочлена в .

Первая задача решается просто: в качестве берём неизвестное , образуем кольцо многочленов и его поле рациональных дробей. Из теоремы следует, что все простые трансцендентные расширения поля эквивалентны, так как каждое из них эквивалентно полю . Стало быть имеет место

Теорема. Поле является единственным, с точностью до эквивалентности расширений, простым трансцендентным расширением поля .

Рассмотрим вторую задачу.

Теорема. Пусть − поле, а − любой неприводимый многочлен из кольца . Тогда существует конечное расширение степени , в котором многочлен имеет корень. С точностью до эквивалентности, расширение единственно. Если , , то .

Доказательство. Согласно теореме искомое поле должно быть изоморфно факторкольцу . Его элементами являются классы вычетов , где . Определим отображение , сопоставляющее многочлену класс вычетов . Нетрудно установить, что гомоморфизм колец. Отметим, что классы вычетов и совпадают тогда и только тогда, когда ). Поскольку − единственный элемент поля , для которого , то для различных элементов и поля . Отсюда следует, что отображение даёт изоморфизм поля на некоторое подполе поля . Поэтому поле можно отождествить с полем , заменяя классы вычетов на соответствующие им элементы из . Тем самым получим поле , содержащее и изоморфное .

Для любого многочлена в соответствии с правилами операций с классами вычетов и с учётом отождествления для получаем

,

где обозначает класс вычетов . Таким образом, каждый элемент поля может быть записан как многочлен от ″переменной″ с коэффициентами из . Следовательно, − простое расширение поля . Если , то

.

Значит, − корень многочлена , − алгебраический элемент над , и − простое алгебраическое расширение поля степени . ∎