Многочлены.

Пусть − коммутативное кольцо с единицей .

Определение. Многочленом (или полиномом) над кольцом называется формальное выражение вида

где , …, − элементы кольца , называемые коэффициентами многочлена, , , − некоторый (формальный) символ, не принадлежащий кольцу , называемый переменной (или неизвестной).

Замечание. Данное определение на самом деле не является достаточно строгим. В нём есть одно сомнительное место, касающееся связи коэффициентов и посторонней переменной . Этого вопроса обычно избегают. Однако можно дать совершенно безукоризненное определение многочлена как элемента кольца многочленов. Изложим его вкратце. (См. )

Рассмотрим множество всех бесконечных последовательностей

, , , , ,

у которых все , кроме конечного числа, равны нулю. Для , , , и

, , , определим сумму и произведение , полагая

, , , ,

, , , ,

где

Относительно этих операций является коммутативным кольцом с единицей

, , , . Действительно, сложение и умножение двух последовательностей с конечным числом ненулевых членов даёт снова аналогичную последовательность. Сложение последовательностей ассоциативно и коммутативно. Нулём в является нулевая последовательность , , , , противоположным для , , , является элемент =

( , , , . Умножение в ассоциативно: пусть

, , , , , , , , , , , …)

− три произвольных элемента из ; тогда

= ( , , , …), = ( , , , …),

где

Вычисление даёт тот же результат. Поскольку умножение в исходном кольце коммутативно, то оно коммутативно и в . Наконец, в выполняется дистрибутивный закон: . Значит, коммутативное кольцо с единицей.

Множество последовательностей ( , , , , у которых лишь первая компонента может быть ненулевой, образует в подкольцо, изоморфное (изоморфизм задаётся соответствием , , , . Отождествляя и , можно считать, что − подкольцо в , а – расширение кольца . Обозначим через последовательность ( , , , , и назовём переменной (или неизвестной) над . Легко проверить, что

,…, , , , для всех ,

где является -ой компонентой. Если, кроме того, положить , , , , то для любой последовательности , , , имеем: , , ,

, , , , , , , , , 0,

, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

Таким образом, если − последний ненулевой элемент в , , , , , , то в новых обозначениях

Такое представление единственно. Действительно, если допустить, что

− другое представление , то , , ,

, , , , , , ,

откуда следует, что ,…, , .

Определение. Введённое кольцо обозначается через и называется кольцом многочленов над от одной переменной , а его элементы − многочленами (или полиномами).

Замечание об обозначениях. Присвоение последовательности названия переменной или неизвестной не более чем терминологическая условность. Для обозначения этой переменной используется заглавная буква (или другая буква , , , чтобы отличить специально выделенный многочлен от теоретико-функциональной переменной , пробегающей некоторое множество значений. Мы будем временно, в пределах данного раздела, придерживаться таких обозначений. В тех случаях, когда из контекста ясно, какая переменная имеется в виду, для обозначения многочлена используется символ .

Многочлены над кольцом обычно определяют как формальные выражения вида (см. начало данного раздела)

,

где – элементы кольца , а − некоторый символ, не принадлежащий кольцу . Основным доводом в пользу используемого здесь определения многочленов над является прояснение связи между элементами и новым элементом . Переход от кольца к кольцу называется кольцевым присоединением элемента к кольцу . Кольцо является подкольцом кольца формальных степенных рядов (см. ).

Пусть − многочлен над кольцом . Элементы называют коэффициентами многочлена . Если все коэффициенты равны нулю, то многочлен называют нулевым и пишут . Коэффициент при называют постоянным членом. Если − ненулевой многочлен, то наибольшее , для которого , называют степенью многочлена и пишут или ; при этом называют старшим коэффициентом многочлена . Нулевому многочлену приписывают степень (при этом , , для каждого .

В записи многочлена члены c можно опускать, но можно и добавлять. В частности, многочлен можно записать в эквивалентной форме

,

где − любое число. Поэтому при сравнении двух многочленов и над можно предполагать, что они содержат одни и те же степени переменной. Многочлен вида называют одночленом, или мономом. Многочлены

и

над считаются равными тогда и только тогда, когда для всех .

Многочлены степени называют постоянными многочленами, или константами. Если кольцо имеет единицу и если старший коэффициент многочлена равен , то многочлен называется нормированным (его также называют приведённым или унитарным).

Вычисление старших коэффициентов двух многочленов приводит к следующему утверждению:

Теорема. Пусть , . Тогда

, ,

.

Если − целостное кольцо, то

.

Некоторые свойства кольца наследуются кольцом . В частности, имеет место

Теорема. Кольцо является целостным кольцом тогда и только тогда, когда − целостное кольцо.

Теорема. Пусть − коммутативное кольцо, содержащее кольцо в качестве подкольца. Тогда для каждого элемента существует единственный гомоморфизм колец

такой, что

(1) для всех и .

Доказательство. Допустим вначале, что указанный гомоморфизм существует. Поскольку для каждого коэффициента многочлена и

, то

(2) ,

т.е. гомоморфизм определён однозначно и выражается формулой (2). Ясно, что отображение (2) удовлетворяет условию (1). Остаётся показать, это отображение можно взять в качестве искомого, т.е. оно является гомоморфизмом. Пусть

и

− любые многочлены из . Тогда

= ,

.

Другими словами, отображение (2) − кольцевой гомоморфизм.∎

Результат применения отображения , определяемого формулой (2), к многочлену называется подстановкой в , или значением при . При этом многочлену

сопоставляется значение

.

Если − любой другой (или тот же многочлен), то все соотношения между и , основанные на сложении и умножении, остаются в силе при замене на любой элемент . Другими словами, если

, , .

Гомоморфизмы , служат связующим звеном между алгебраической и функциональной точками зрения на многочлены.