5.1. Неравенство Чебышева

Великий русский математик, академик П.Л. Чебышев в 1846 г. вывел простое неравенство, позволяющее доказать закон больших чисел в самой общей форме.

Рассмотрим случайную величину X, математическое ожидание которой и дисперсия .

Неравенство Чебышева утверждает: вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания будет по абсолютной величине не менее любого числа > 0, ограничено сверху величиной , т.е.

(5.1)

Доказательство. 1. Пусть случайная величина X дискретная с рядом распределения

X	x1	x2	…	x . n
p		p2	…	pn

Тогда дисперсия случайной величины X

. (5.2)

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим все слагаемые, у которых , вследствие чего сумма (5.2) может только уменьшиться:

, (5.3)

т.е. суммирование распространяется только на значения i, для которых отклоняется от математического ожидания на величину не меньше чем ε.

Заменим в формуле (5.3) выражение через ε, от такой замены сумма только уменьшится:

, (5.4)

так как

.

Подставляя в формулу (5.4) данное выражение, получим

.

Откуда непосредственно вытекает неравенство (5.1).

2. Пусть теперь случайная величина X непрерывна с плотностью распределения . Тогда

. (5.5)

Возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси. Выделим на числовой оси вправо и влево от математического ожидания отрезки длиной ε (рис. 5.1)

ε ε

A а B

Рис. 5.1

Если в выражении (5.5) интеграл по всей оси ОХ заменим интегралом по области, лежащей вне отрезка АВ, то величина интеграла при этом может только уменьшиться, поскольку под интегралом стоит неотрицательная функция, т.е.

. (5.6)

Заменяя под интегралом (5.6) через ε, снова можем только уменьшить величину интеграла.

. (5.7)

Так как

,

то неравенство (5.7) принимает вид:

. (5.8)

Здесь знак заменен знаком >, так как для непрерывной случайной величины вероятность точного равенства равна нулю.

Неравенство Чебышева может быть записано и в другой форме, применительно к противоположному событию:

. (5.9)

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, так как дает грубую оценку. Это неравенство полезно лишь при относительно больших ε. Теоретическое же значение очень велико.

5.2. Теорема Чебышева

Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями, т.е.

;

.

Введем новую случайную величину:

. (5.10)

Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа наблюдаемых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к её математическому ожиданию, т.е.

. (5.11)

Доказательство. Найдем числовые характеристики случайной величины . Пользуясь свойствами числовых характеристик, получим:

;

.

Применим теперь неравенство Чебышева в виде формулы (5.3) к случайной величине :

. (5.12)

Подставляя в формулу (5.11), получим

.

В пределе при величина стремится к нулю, и, следовательно, получаем доказываемую формулу (5.11).

Определим смысл формулировки «сходимость по вероятности».

Пусть на некотором вероятностном пространстве заданы последовательность случайных величин и случайная величина X, т.е. . Последовательность сходится по вероятности к X, если для

или

Сходимость по вероятности отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Разница между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к X как к пределу в смысле обычного анализа, то, начиная с некоторого n = N и для последующих n, неуклонно выполняется неравенство ; если же стремится по вероятности к X при необязательно, что стремится при к при всех , более того может быть, что не стремится при к при всех . Сходимость по вероятности влечет за собой сходимость по распределению. Определим теперь понятие «сходимость по распределению». Эта сходимость называется также слабой сходимостью.

Пусть Говорят, что сходится к X по распределению при , если в каждой точке непрерывности .

Пример 1. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 1, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

Р е ш е н и е. Пусть – результат i-го измерения ; a – истинное значение величины, т.е. .

Необходимо найти n, при котором , где по условию ε =1; . Используем формулу (5.12)

, откуда .

Ответ: потребуется не менее 500 измерений.

Теорема Чебышева может быть распространена на более общий случай, когда характеристики наблюдаемой случайной величины меняются от опыта к опыту. В этом случае имеет место следующая обобщенная теорема Чебышева: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний над случайными величинами, имеющими ограниченные дисперсии, среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий этих величин, т.е.

, (5.13)

где

; ,

причем , , С=const.

Доказательство теоремы нужно произвести самостоятельно.