Контрольные вопросы

1. Как находится плотность распределения случайной величины Y, если эта случайная величина есть монотонная функция случайной величины X, закон распределения которой известен?

2. Как находится закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента?

3. Как определяется закон распределения функции двух случайных аргументов?

4. Что означает произвести композицию двух законов распределения?

5. Как определяется математическое ожидание функции случайного аргумента, закон распределения которого известен?

6. Сформулируйте и докажите теорему о математическом ожидании суммы двух случайных величин.

7. Сформулируйте и докажите теорему о математическом ожидании произведения двух случайных величин.

8. Чему равно математическое ожидание от произведения нескольких независимых случайных величин?

9. Как определяется дисперсия функции одного случайного аргумента (нескольких аргументов), если известен только закон распределения аргумента (аргументов)?

10. Сформулируйте и докажите теорему о дисперсии суммы случайных величин.

11. Чему равна дисперсия суммы некоррелированных случайных величин?

12. Сформулируйте и докажите теорему о дисперсии произведения двух независимых случайных величин.

13. Сформулируйте свойства корреляционного момента.

14. Чему равен коэффициент корреляции случайных величин, связанных между собой линейной зависимостью?

15. Функция каких случайных величин имеет распределение Хи-квадрат, Стьюдента, Фишера?

Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел

Группа теорем, которые устанавливают соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайной величины и случайных событий при большом числе испытаний над ними, а также касающихся предельных законов распределения, объединяются под общим названием предельных теорем теории вероятностей.

Познакомимся с двумя типами предельных теорем: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Закон больших чисел занимает важное место в теории вероятностей, является связующим звеном между теорией вероятностей как математической наукой и закономерностями случайных явлений при массовых наблюдениях над ними. Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Закон больших чисел играет очень важную роль в практических применениях теории вероятностей к явлениям природы, техническим процессам, связанным с массовым производством. Прежде чем перейти к этим теоремам, рассмотрим неравенство Чебышева.