4.4. Дисперсия функции случайных величин

Для функции одного случайного аргумента

(4.16)

дисперсия выражается формулой:

(4.17)

Выражение (4.17) показывает, что дисперсия функции случайных величин определяется как математическое ожидание некоторой новой функции, поэтому вычисление дисперсии может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными рассмотренным в предыдущем разделе.

Если X – дискретная случайная величина, то дисперсия выражается суммой:

(4.18)

а если X – непрерывная случайная величина, то дисперсия функции выражается интегралом:

(4.19)

где – плотность распределения случайной величины X.

Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных величин:

. (4.20)

В дискретном случае:

, (4.21)

где – возможные значения системы (Х,Y), а – вероятность принятия этих значений.

В непрерывном случае:

(4.22)

где – плотность распределения системы (X,Y); – математическое ожидание функции (4.20).

Заметим, что при вычислении дисперсии удобно бывает пользоваться формулой:

В таком случае формулы (4.18), (4.19), (4.21) и (4.22) можно заменить следующими:

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Теорема 1. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенный коэффициент корреляции:

(4.27)

Следствие. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме их дисперсий:

. (4.28)

Теорема 2. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле:

(4.29)

Пример. Случайная величина X подчинена равномерному закону распределения в интервале (0,1). Найти дисперсию случайной величины

Р е ш е н и е. Случайная величина X имеет плотность распределения:

Найдем сначала математическое ожидание случайной величины

Дисперсия по формуле (4.24):

Таким образом, искомая дисперсия равна 16/45.

4.5. Корреляционный момент функций случайных величин и его свойства

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин X и Y, имеем:

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получим:

(4.30)

Рассмотрим две функции и системы двух случайных величин :

Согласно формуле (4.30)

(4.31)

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции .

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не меняются.

Свойство 2. Для любых случайных величин X и Y абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий случайных величин:

где и – средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y.

Свойство 3. Если , то

.

Пример. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением . Найти корреляционный момент, если ,

Р е ш е н и е. По формуле (4.30):

Рассмотрим распределение случайных величин, являющихся функцией случайных величин, которые находят широкое применение в математической статистике.

4.6. Распределение Хи-квадрат, Стьюдента, Фишера

1. Распределение Хи-квадрат . Пусть – независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону, причем , , т.е. случайные величины имеют нормированное нормальное распределение, тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону Хи-квадрат с степенями свободы, т.е.

Дифференциальная функция этого распределения имеет вид:

где – гамма функция.

С увеличением числа степеней свободы – распределение стремится к нормальному закону.

2. Распределение Стьюдента (t-распределение). Пусть случайная величина имеет нормированное нормальное распределение, т.е. , . – независимая от X случайная величина распределена по закону с k-степенями свободы, тогда величина

имеет распределение Стьюдента, или t-распределение. С увеличением k-распределение также стремится к нормальному закону распределения.

3. Распределение Фишера (F-распределение).

Пусть X и Y независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k₁ и k₂ соответственно, тогда величина

имеет распределение Фишера, или F-распределение со степенями свободы k₁ и k₂. С увеличением k₁ и k₂ F-распределение стремится к нормальному закону.