4.2. Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина Z является функцией двух случайных величин, т.е.

. (4.6)

Пусть плотность распределения системы величин , тогда плотность распределения случайной величины определяется равенством:

, (4.7)

где обратная функция к функции (4.6).

Если X и Y независимы, то

,

тогда

. (4.8)

Следует отметить, что значения Z однозначно определяются значениями X и Y.

Пример 1. Дискретные случайные величины X, Y заданы распределениями:

Х	1	2	;				Y	3	4 .
р	0,4	0,6					р	0,2	0,8

Составить распределение случайной величины

Р е ш е н и е. Составим возможные значения Z:

Найдем вероятности этих возможных значений:

;

.

Таким образом, искомое распределение:

Z	4	5	6 .
p	0,08	0,44	0,48

Пример 2. Случайная точка распределена равномерно в круге радиуса 1. Найти закон распределения случайной величины .

Р  е ш е н и е. В данном случае функция распределения случайной величины Z есть относительная площадь области (рис. 4.1):

,

откуда

.

Таким образом, искомая плотность распределения равна 1/π(1+z²).

4.3. Математическое ожидание функции случайных величин

Пусть , где X – дискретная случайная величина с возможными значениями и вероятностями , , тогда математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле:

. (4.9)

Если X – непрерывная случайная величина, тогда

, (4.10)

где – плотность распределения случайной величины X.

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции от двух случайных аргументов

.

Для дискретных случайных величин:

. (4.11)

Для непрерывных случайных величин:

, (4.12)

где – плотность распределения системы .

Теорема 1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(4.13)

Теорема 2. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

(4.14)

Следствие. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

(4.15)

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , если плотность распределения случайной величины X имеет вид:

Р е ш е н и е. По формуле (4.10) имеем:

Пример 2. Система равномерно распределена в круге радиуса r с центром в начале координат. Определить математическое ожидание случайной величины

Р е ш е н и е. Система распределена равномерно в области D – круге радиуса r, плотность ее распределения имеет вид:

По формуле (4.12)

Таким образом, искомое математическое ожидание равно 2/3r.