3.5. Основные числовые характеристики системы двух случайных величин
В основу получения числовых характеристик системы случайных величин положено понятие моментов. Как и для одной случайной величины, это начальные и центральные моменты.
Формулы
для вычисления начальных моментов
записываются следующим образом:
для системы дискретных случайных величин
;
для системы непрерывных случайных величин
.
В частности, начальные моменты первого порядка
;
,
определяют
на плоскости
точку
,
называемую центром рассеивания системы.
Формулы вычисления центральных моментов:
в дискретном случае:
;
в непрерывном случае:
.
Центральными моментами второго порядка являются дисперсии
,
характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ох и Oy.
Важную
роль при исследовании системы двух
случайных величин играет второй смешанный
центральный момент
,
который называется корреляционным
моментом, моментом связи и еще ковариацией
величин X
и Y,
для него
приняты обозначения
или
:
.
(3.11)
В дискретном случае формула (3.11) выражается суммой:
,
а в непрерывном – интегралом:
.
Применяется
еще одна характеристика, называемая
коэффициентом корреляции (
):
,
(3.12)
где
,
– положительные квадратные корни из
дисперсии.
3.6. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
При изучении системы случайных величин зависимость меж- ду составляющими X и Y может быть более или менее тесной.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если
.
Для дискретных случайных величин X и Y это требование эквивалентно равенству
,
(3.13)
где и , а для непрерывных случайных величин условие непрерывности равно
.
(3.14)
Если случайные величины X и Y зависимы, то необходимо ввести понятие условного закона распределения и условной плотности распределения.
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Для
двумерной дискретной случайной величины
(X,Y),
принимающей значения (
,
)
и
с вероятностями
,
можно определить условную вероятность
,
пользуясь аксиомой умножения:
=
или
=
,
т.е.
=
=
.
(3.15)
По аналогии
=
.
(3.16)
Для непрерывных случайных величин аналогичным образом определяется условная плотность распределения:
и
.
(3.17)
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами безусловной плотности распределения.
В случае независимости случайных величин X и Y все условные плотности распределения совпадают с безусловными, т.е.
;
.
И наоборот, различие условных и безусловных плотностей распределения означает зависимость случайных величин.
Для зависимых случайных величин вводятся понятия условных числовых характеристик.
Условное математическое ожидание в дискретном случае:
;
.
Условное математическое ожидание в непрерывном случае:
;
.
(3.18)
Условная дисперсия в дискретном и непрерывном случае имеет вид:
;
.
(3.19)
Из
определения условных математических
ожиданий следует, что
– это функция от y,
а
– функция от x.
Причем, если система случайных величин
непрерывна, то функции
и
будут также непрерывными. Уравнения
и
называются уравнениями регрессии X
по Y
и Y
по X
соответственно,
а графическое их изображение на плоскости
называется линиями регрессии.
В качестве количественной характеристики степени зависимости случайных величин X и Y часто используют коэффициент корреляции (см. формулу (3.12)), но он характеризует лишь степень линейной зависимости. Это следует из его свойств:
если
где a
и b
= const,
то
если Х и Y независимы, то
.
Пример 1. Плотность распределения системы случайных величин (X,Y) имеет вид:
Определить, зависимы или независимы составляющие X и Y.
Р е ш е н и е.
Вычислим плотности распределения
составляющих,
используя
формулы
(3.9) и (3.10) при
и
Таким образом,
Случайные величины X и Y независимы, так как выполняется условие (3.14):
Пример 2. Плотность распределения двухмерной случайной величины имеет вид:
Определить:
а) зависимы или независимы составляющие X и Y;
б) условные математические ожидания и условные дисперсии.
Р е ш е н и е. а) Плотность распределения составляющей X по формуле (3.9)
Аналогично для составляющей Y по формуле (3.10):
Очевидно, что условие (3.14) не выполняется. Таким образом, X и Y зависимы.
б) Найдем
сначала условные плотности распределения
и
по формулам (3.17):
Найдем условные математические ожидания по формулам (3.18):
Аналогично
Найдем условную дисперсию по формуле (3.19):
Аналогично
Пример 3. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан табл. 3.3:
Таблица 3.3
X |
Y |
|||
−1 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
0,1 |
0,25 |
0,3 |
0,15 |
2 |
0,1 |
0,05 |
0,0 |
0,05 |
Найти:
а) закон распределения составляющих X
и Y;
б) условные законы распределения
случайной величины X
при условии Y = 2
и случайной величины Y
при условии X = 1;
в) вычислить
Р е ш е н и е.
а) Случайная величина X
может принять два значения:
с вероятностями (складываем вероятности
по строкам):
т.е. ее закон распределения представлен рядом распределения:
X |
1 |
2
. |
p |
0,8 |
0,2 |
Контроль: 0,8+0,2=1.
Аналогично получаем закон распределения составляющей Y (складываем вероятности по столбцам):
Y |
–1 |
0 |
1 |
2
. |
p |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
Контроль: 0,2+0,3+0,3+0,2=1.
б)
Условный закон распределения X
при условии Y = 2
получим, если вероятности
,
стоящие в последнем столбце табл. 3.3,
разделим на
.
Получим
X |
1 |
2
. |
p(X/Y = 2) |
0,75 |
0,25 |
Контроль: 0,75 + 0,25 = 1.
Для
получения условного закона распределения
Y
(при условии X
= 1), вероятности
,
стоящие в первой строке табл. 3.3, делим
на
:
Y |
–1 |
0 |
1 |
2
. |
p(Y/X = 1) |
0,125 |
0,3125 |
0,375 |
0,1875 |
Контроль: 0,125 + 0,3125 + 0,375 + 0,1875 = 1.
в)
Для нахождения вероятностей
складываем вероятности событий
из табл. 3.3, для которых
Получим:
,
т.е. складываем вероятности для значений (1,−1), (1,0), (2,−1), (2,1).