3.3. Функция распределения системы двух случайных величин
Функцией
распределения системы двух случайных
величин называется функция двух
аргументов
,
равная вероятности совместного выполнения
двух неравенств
и
,
т.е.
.
(3.1)
Г
еометрически
функция распределения системы двух
случайных величин представляет собой
вероятность попадания случайной точки
(x,y)
в левый нижний бесконечный квадрант
плоскости (рис. 3.1) с вершиной в точке
(X,Y )
(заштрихованная область).
Для дискретной двумерной случайной величины функция распределения определяется по формуле:
.
(3.2)
Отметим свойства функции распределения.
1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.
.
2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.
при
;
при
.
3. Если хотя бы один из аргументов обращается в бесконечность, функция распределения равна нулю, т.е.
.
4. Если один из аргументов обращается в бесконечность, функция распределения становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
;
,
где
и
– функции распределения случайных
величин X
и Y,
т.е.
.
5. Если оба аргумента равны +, то функция распределения равна единице:
.
6.
Вероятность попадания случайной точки
в полуполосу равна приращению функции
распределения по одному аргументу
;
.
7. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник вычисляется по формуле:
(3.3)
где стороны прямоугольника параллельны координатным осям.
3.4. Плотность распределения системы двух случайных величин
Плотность распределения является исчерпывающей характеристикой системы непрерывных случайных величин, с помощью которой описание распределения системы становится более наглядным.
Пусть
имеется система двух непрерывных
случайных величин. Рассмотрим вероятность
попадания случайной точки
в элементарный прямоугольник со сторонами
и
(рис. 3.2).
Применяя формулу (3.3), получим:
.
Разделим
полученную вероятность на площадь этого
прямоугольника и перейдем к пределу
при
и
:
.
(3.4)
Предположим,
что функция
дважды дифференцируема, тогда правая
часть формулы (3.4) представляет собой
вторую смешанную производную функции
.
Обозначим эту производную
:
.
(3.5)
Функция называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин .
Геометрически плотность распределения системы двух случайных величин можно изобразить некоторой поверхностью (рис. 3.3), которую называют поверхностью распределения.
Рис. 3.2 Рис. 3.3
Имеют место следующие свойства:
1. Плотность распределения есть функция неотрицательная:
.
2. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:
.
(3.6)
3. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения формулой:
.
(3.7)
4.
Функция распределения случайных величин
и
,
составляющих систему
,
может быть выражена формулами:
.
(3.8)
5. Плотность распределения одномерных случайных величин X и Y, составляющих систему, можно выразить формулами:
;
(3.9)
.
(3.10)
6. Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D:
,
равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область D.