Глава 3. Система случайных величин

3.1. Понятие о системе случайных величин

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать две, три или больше случайных величин. Например, случайная точка при попадании в мишень характеризуется двумя своими координатами, т.е. это двумерная случайная величина (X,Y). Случайное отклонение точки разрыва снаряда определяется комплексом трех случайных величин, т.е. тремя координатами этой точки (X,Y,Z). Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: X₁ – температура; X₂ – влажность; X₃ – давление; X₄ – скорость ветра и т.п.

При различных измерениях имеем дело с двумя, тремя случайными величинами. При рассмотрении систем случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин (X,Y) можно рассматривать как случайную точку или случайный вектор на плоскости. Систему трех случайных величин – как точку или случайный вектор в трехмерном пространстве.

Если каждому элементарному событию поставить в соответствие вектор , каждая координата которого есть случайная величина, то говорят, что задана многомерная случайная величина.

В зависимости от типа случайных величин, образующих систему, могут быть системы дискретных случайных величин, системы непрерывных случайных величин, а также смешанные системы.

При изучении систем случайных величин ограничимся подробным изучением систем двух случайных величин, так как полученные результаты легко перенести на общий случай.

3.2. Закон распределения системы двух случайных величин

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях. Так же как и для одной случайной величины, закон распределения системы может быть задан в различных формах. Рассмотрим сначала таблицу распределения системы дискретных случайных величин.

Пусть (X,Y) – двумерная дискретная случайная величина, возможные значения которой . Вероятности принятия этих возможных значений , где , а .

Распределение системы (X,Y) показано в табл. 3.1, которая называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин.

Таблица 3.1

Y	X
Y	x₁	x₂	…	x_n
y₁	p₁₁	p₂₁	…	p_n₁
y₂	p₁₂	p₂₂	…	p_n₂
…	…	…	…	…
y_m	p₁_m	p₂_m	…	p_nm

Все возможные события при и составляют полную группу несовместных событий, поэтому

При этом

Пример. По цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти распределение двумерной случайной величины (X,Y), считая X – число попаданий, Y – число промахов.

Р е ш е н и е. Возможные значения случайных величин X и Y одинаковы и равны 0, 1, 2. Тогда

р() = 0;