Студент МАТВЕЕВА А.П. Зачетка 0810543 МАТ- 410

ШИФР	4	1	0	5	4	3
	А	Б	В	Г	Д	Е

Контрольная работа № 3

Задача 3.1. Ломанный стержень расположен в горизонтальной плоскости. Углы в местах соединения стержней прямые. Все стержни длины L.

Требуется: 1) записать аналитические выражения внутренних силовых факторов (ВСФ) по участкам, вычислить их значения в характерных точках и построить эпюры; 2) установить тип сложного сопротивления и записать значения ВСФ в опасном сечении на каждом участке; 3) на одном участке, испытывающем косой изгиб, подобрать двутавр и размеры прямоугольного сечения при соотношении сторон h/b = 2. Для двутавра и прямоугольного сечения построить нейтральные линии и указать опасные точки сечения; 4) на одном участке, испытывающем косой изгиб с кручением подобрать круглое и кольцевое сечения при соотношении радиусов R/r = D/d =  по четвертой теории прочности; 5) в пунктах 3) и 4) сравнить экономичность подобранных сечений по весу.  = 16 кН/см².

Дано: схема 4, F = 1 кН, q = 2 кН/м, L = 1,4 м, = 1,3  = 16 кН/см².

s3 x3 z2 y3 s1 z1 s2 x2 y2 y1 x1 z3

С каждым участком свяжем правую систему координат X_iY_iZ_i, где ось Z_i направлена вдоль оси стержня. Начало координат выбираем в т.А. На остальных участках направление осей получается перемещением без вращения вокруг оси Z_i исходной тройки векторов по оси ломанного стержня. Используя метод сечений из уравнений равновесия для правой отсеченной части получим выражения ВСФ для каждого участка.

1. Запишем аналитические выражения для ВСФ по участкам

Первый участок (AB) 0  s₁  L = 1,4 м

В Мz Nz s1 z1 Qx Мx Мy y1 x1 С F q А D Qy

Вычислим значения на концах участка

При s₁ = 0 М_х =  1,4 кНм, М_у = 1,96 кНм

при s₁ = L = 1,4 м М_х =  2,8 кНм, М_у = 5,88 кНм

Второй участок (ВC) 0  s₂  L = 1,4 м

При s₂ = 0 М_х = 0

при s₂ = L = 1,4 м М_х =  1,4 кНм

Третий участок (CD) 0  s₃  L = 1,4 м

При s₃ = 0 Q_x =0, М_х = 0, М_у = 0

при s₃ = L = 1,4 м Q_x = 2,8 кН, М_х =  1,4 кНм, М_у = 1,96 кНм

Построим эпюры ВСФ.

При построении эпюр ВСФ положительные значения перерезывающих сил (Q_x,Q_y) и изгибающих моментов (M_x,M_y) откладываются вдоль положительных направлений соответствующих осей. Это соответствует правилу, что изгибающие моменты строятся со стороны растянутых волокон в плоскости действия момента. Эпюры продольных усилий N_z и крутящего момента M_z строятся в произвольной плоскости.

2. Соберем максимальные значения ВСФ по участкам в таблицу

Участок АВ	Участок ВС	Участок CD
Qx = 2,8 кН Qy = 1 кН Mx =  2,8 кНм My = 5,88 кНм Mz = 1,4 кНм	Qy = 1 кН Nz = 2,8 кН Mx =  1,4 кНм My = 1,96 кНм Mz =  1,4 кНм	Qx = 2,8 кН Qy = 1 кН Mx =  1,4 кНм My = 1,96 кНм

На участке АВ косой изгиб с кручением, опасное сечение в точке А. Расчетное значение ВСФ:

M_x =  2,8 кНм, M_y = 5,88 кНм, M_z = 1,4 кНм

На участке ВС общий случай деформированного состояния, опасное сечение в точке В. Расчетные значения ВСФ

N_z = 2,8 кН, M_x =  1,4 кНм, M_y = 1,96 кНм, M_z =  1,4 кНм

На участке CD косой изгиб, опасное сечение в точке C. Расчетное значение ВСФ

M_x =  1,4 Нм, M_y = 1,96 кНм

3. На участке СD косой изгиб. Подберем размеры прямоугольного сечения и номер двутавра. Расчетные значения:

M_x =  1,4 кНм, M_y = 1,96 кНм

Поскольку | M_x | < | M_y |, то располагаем сечение горизонтально.

а) Подберем двутавр

К2  Мх х М Му нл К1 у

Условие прочности: Из сортамента видно, что . Примем , тогда из условия прочности:

см³

Ближайшее значение к W_x имеет двутавр № 16: W_x = 14,5 см³, W_у = 109 см³.

Поскольку отношение приблизительно, то необходима проверка.

Проверка: кН/см² < 16 кН/см²

недогрузка велика

двутавр № 14: W_x = 11,5 см³, W_у = 81,7 см³.

Проверка: кН/см² < 16 кН/см²

Окончательно принимаем двутавр № 14, А_дв = 17,4 см², J_x = 41,9 см⁴,

J_y = 572 см⁴.

Положение нейтральной линии (нл) определяется из условия , то есть . В случае косого изгиба нл проходит через центр тяжести сечения. Угол наклона НЛ к оси ОХ:

Максимальные напряжения возникают в точках К₁ и К₂, наиболее удаленных от НЛ.

б) Подберем размеры прямоугольного сечения h/b = 2.

h  Мх b x Му М нл y

Условие прочности: . Для прямоугольного сечения: ,

см³

см

h = 2b = 7,10 см, А_прям = bхh = 3,55 x 7,10 = 25,21 см².

см⁴ см⁴

4. На участке АВ косой изгиб с кручением. Подберем круглое и кольцевое сечение.

Расчетные значения M_x =  2,8 кНм, M_y = 5,88 кНм, M_z = 1,4 кНм.

а) Подберем диаметр вала.

R x y

Условие прочности: .

Эквивалентный момент определяем по 4ой теории прочности:

кНм

Для круглого сечения: см³

см = 75 мм

После округления d = 80 мм, А_вала = 50,24 см².

б) Подберем размер кольцевого сечения 1,3

R x r d D y

Из условия прочности: 41,406 см3.

Для кольца , где

0,350)=0,0638D³

см d = 6,66 см

Площадь кольца: А_кольца = 58,872 – 34,819 = 24,053 см²

5. Сравним площади подобранных сечений:

на участке АВ

на участке СD

Вывод: Двутавровое сечение экономичнее чем прямоугольное, а кольцевое  круглого.