МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ

Інститут післядипломної освіти і дистанційного навчання

Сєвєродонецьке відділення

ІНСТРУКТИВНО-МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ

до практичних занять і самостійної роботи студентів з

навчально-методичного комплексу дисципліни

“ Теорія ймовірностей та математична статистика ”

для студентів усіх спеціальностей

Частина перша

Сєвєродонецьк 2011

ПЕРЕДМОВА

Велику роль у нашому житті відіграють випадковості. Однак, живучі у світі випадкових подій, людство не стало їх рабом, бо й вони підпорядковані певним закономірностям. Найпростіші з цих випадковостей людина осягла колись у процесі трудової діяльності. В наш час глибокі закономірності випадковостей досліджуються в теорії ймовірностей – математичній дисципліни, яка набула тепер широкого застосування. Опанування основами цієї математичної дисципліни, її розуміння, це в кінцевому результаті сформувати вміння самостійно розв'язувати різні задачі. При цьому основна увага повинна приділятися не стільки повному визначенню математичних понять теорії ймовірностей, скільки простим прийомам їх використання.

Вперше найбільш цікаві задачі теорії ймовірностей виникли в області азартних ігор. До азартних ігор відносили кидання монети і шестигранних гральних кісток.

У 1494 році італійський математик Л.Пачіолі опублікував свою роботу, де пропонував спосіб рішення задачі, що виникла при грі в кості. І хоча в міркування Л.Пачіолі укралася помилка, ця праця мала величезне значення.

Рішенню цієї задачі приділяли увагу і італійський математик Д.Кардано, та французькі математики Б.Паскаль та П.Ферма.

Самою значною подією для становлення теорії ймовірностей, як науки, була, виданая в 1718 році у Лондоні книга А.Муавра «Навчання про випадки». У даній роботі А.Муавр зумів установити закономірності, що спостерігаються у випадкових процесах.

Перші фундаментальні основи теорії імовірностей були послідовно викладені французьким математиком П.Лапласом у книзі «Аналітична теорія ймовірностей».

В розробці теорії ймовірностей значне місце займала петербурзька математична школа

( П.Л.Чебишов, А.М.Ляпунов, А.А.Марков).

А.А.Маркову, учню видатного математика П.Л.Чебишева, належить слава відкривача важливої області застосування теорії імовірностей – теорії ймовірностних, або стохастичних, процесів. Ланцюги Маркова одержали практичний розвиток в працях М.Планка і А.Ейнштейна.

Дев’ятнадцяте сторіччя широко використовує ймовірностні методи в теорії стрільб та теорії помилок. У 20 сторіччі теорія ймовірностей знайшла застосування у статистичній фізиці та механіці. Також формуванню основ теорії імовірностей сприяли і такі види діяльності людини, як з'ясовування тривалості життя, підрахунок населення, практика страхування. Великий внесок у розвиток теорії ймовірностей внесли вчені: К.Є.Шенон, А.Н.Колмогоров, К.Пірсон, А.Ландеберг.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

Даний методичний посібник з теорії ймовірностей та математичної статистики містить у собі короткий теоретичний матеріал, значну кількість прикладів розв’язання задач і індивідуальні завдання за даним курсом відповідно навчальній робочій програмі.

Теорія ймовірностей.

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей

Ймовірність подій. Класичне та статистичне означення ймовірностей. Відносна частота. Основні формули комбінаторики.

Основні уявлення та формули:

1. Ймовірність подій. Класичне та статистичне означення ймовірностей. Відносна частота.

Подія – це явище, про яке можна сказати, що воно, внаслідок випробування, відбувається чи не відбувається за певних умов. /позначатимемо А, В, С.../.

Випадковою називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.

Приклад: під час витягування однієї карти з колоди ви взяли короля. Подія А – „взято короля” є випадковою.

Вірогідною (достовірною) називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться.

Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Повною групою подій називається множина таких подій, що в результаті кожного випробування обов’язково повинна відбутися хоча б одна з них.

Попарно несумісні події–це події, дві з яких не можуть відбуватися разом.

Рівно можливі події – це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Події утворюють простір елементарних подій, якщо:

а) утворюють повну групу подій ; б) є несумісними ; в) є рівно можливими.

Приклад : Який буде простір елементарних подій при киданні монети тричі ?

Рішення: Елементарних подій буде – 8: ( ГГГ ), ( ГГР ), (ГРР), (РРР),

( ГРГ ), ( РГГ ), (РРГ), (РГР). Розмірність простору – 8 або 2³ .

Якщо кидати монету n разів, то число елементарних подій буде 2ⁿ, що дорівнює розмірності простору.

• Означення.

Кількісна оцінка можливості появи події А називається ймовірністю події А.

Акцентуйте увагу на такі випадки: маємо змогу провести дослід ( у такому разі ймовірність називається статистичною) або не маємо змогу провести дослід ( класична ймовірність ).

Класичною ймовірністю називається відношення числа елементарних подій (m), що сприяють події (А), до загального числа подій (n). Позначається – Р(А).

Р(А) = .

Імовірність достовірної події – Р (А) = 1. Імовірність неможливої події – Р(А) = 0.

Імовірність випадкової події – 0 Р(А) 1.

Відносна частота наступу події А : W(А) = .

Підрахунок ймовірностей подій значно спрощується, коли для обчислення m і n використовувати формули комбінаторики.

1.2.Основні формули комбінаторики.

• Означення.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з п елементів. Позначимо - Р_{n .} Р_n = 1*2*3*...*n = n!

Приклад: Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Рішення: Р_n = Р₆ =6!=1*2*3*4*5*6 = 720.

• Означення.

Будь-яка впорядкована підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів називається розміщенням з n елементів по m елементів ( зважаючи, що m < n ). Позначимо . = n*(n + 1)*(n + 2)*…*( n – m + 1).

Приклад: Учневі треба скласти 4 екзамени на протязі 8 днів. Скількома способами це можна зробити ?

Рішення: = = 8 ·7 · 6 ·5 =1680.

• Означення.

Будь-яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m елементів – .

= = або = .

Приклад: Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці „Спортлото” ?

Рішення: = = =13983816.

Одне з завдань теорії ймовірностей полягає в тому, щоб за заданими елементарними подіями оцінити можливість відбування складної події.

Правило суми ( або α, або b )

Якщо елемент α можна вибрати m способами, а елемент b способами п, то вибір а або b можна здійснити ( m + п) способами.

Правило добутку ( і α , i b )

Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b способами п, то вибір пар а і b можна здійснити ( m*п) способами.

Приклад 1: У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами можна виділити наряд, який складається із 3 солдат і одного офіцера ?

Рішення: Число способів вибору солдат - і число способів вибору офіцера - ; кількість способів вибрати наряд - .

Приклад 2 : Із 7 бігунів і 3 стрибунів треба скласти команду із 5 чоловік, в яку входив хоч би один стрибун. Скількома способами це можна зробити ?

Рішення: Число способів вибору 1 стрибуна - і число способів вибору 4 бігунів - ; кількість способів вибрати команду - . Або число способів вибору 2 стрибунів - і число способів вибору 3 бігунів - ; кількість способів вибрати команду - .

Або число способів вибору 3 стрибунів - і число способів вибору 2 бігунів - ; кількість способів вибрати команду - . Загальна кількість способів скласти команду:

+ + = 231.