4.3.Задачи для самостоятельного решения
1. Заданы таблично значения yi функции f(x) в точках xi. Найти значение функции f(x) при x = x*. Решить задачу с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 3-го порядка. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.11.
Таблица 4.11
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№ 4 |
№ 5 |
№ 6 |
№ 7 |
№ 8 |
№ 9 |
№ 10 |
||||||||||
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
2 |
13 |
1 |
12 |
2 |
12 |
2 |
12 |
1 |
12 |
2 |
12 |
2 |
10 |
1 |
12 |
2 |
12 |
2 |
13 |
3 |
13 |
3 |
13 |
4 |
12 |
3 |
14 |
3 |
13 |
4 |
11 |
3 |
10 |
3 |
13 |
4 |
13 |
3 |
14 |
5 |
14 |
5 |
14 |
5 |
13 |
5 |
15 |
5 |
14 |
5 |
10 |
5 |
12 |
5 |
11 |
5 |
14 |
5 |
12 |
x*= 1 |
x*= 2 |
x*= 3 |
x*= 1 |
x*= 2 |
x*= 3 |
x*= 1 |
x*= 2 |
x*= 3 |
x*= 1 |
||||||||||
№ 11 |
№ 12 |
№ 13 |
№ 14 |
№ 15 |
№ 16 |
№ 17 |
№ 18 |
№ 19 |
№ 20 |
||||||||||
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
0 |
11 |
2 |
13 |
1 |
12 |
2 |
12 |
2 |
12 |
1 |
12 |
2 |
12 |
2 |
10 |
1 |
12 |
2 |
12 |
2 |
13 |
3 |
13 |
3 |
13 |
5 |
12 |
3 |
14 |
3 |
13 |
5 |
11 |
3 |
10 |
3 |
13 |
4 |
13 |
3 |
14 |
5 |
14 |
6 |
14 |
7 |
13 |
5 |
15 |
6 |
14 |
7 |
10 |
5 |
12 |
6 |
11 |
7 |
14 |
5 |
12 |
x*= 4 |
x*= 5 |
x*= 6 |
x*= 4 |
x*= 5 |
x*= 6 |
x*= 4 |
x*= 5 |
x*= 6 |
x*= 4 |
||||||||||
2. Заданы таблично значения yi функции f(x) в узлах xi, получающихся делением отрезка [1; 2] на пять частей. Найти значение функции f(x) при x = 1,1 с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.12.
Таблица 4.12
Варианты табличных значений yi функции f(x) |
||||||||||
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1,0 |
1,0 |
1,1 |
0,9 |
0,9 |
0,8 |
1,1 |
1,0 |
1,2 |
1,2 |
1,1 |
1,2 |
2,1 |
2,2 |
2,0 |
1,9 |
2,0 |
2,2 |
2,1 |
1,8 |
2,0 |
1,9 |
1,4 |
2,9 |
3,2 |
3,0 |
3,2 |
2,9 |
3,2 |
3,1 |
3,2 |
3,0 |
3,2 |
1,6 |
3,8 |
4,2 |
3,8 |
3,8 |
4,2 |
4,2 |
3,8 |
4,1 |
3,8 |
3,8 |
1,8 |
5,2 |
5,2 |
5,1 |
5,1 |
5,2 |
5,1 |
5,2 |
5,2 |
5,0 |
4,9 |
2,0 |
5,9 |
6,0 |
5,8 |
6,1 |
5,8 |
5,9 |
6,2 |
6,1 |
6,1 |
5,8 |
Варианты табличных значений yi функции f(x) |
||||||||||
xi |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1,0 |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
1,1 |
0,8 |
1,0 |
0,9 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
2,0 |
2,2 |
1,8 |
2,2 |
1,9 |
1,8 |
2,0 |
2,2 |
2,2 |
2,0 |
1,4 |
2,8 |
2,9 |
2,9 |
3,0 |
3,2 |
2,8 |
2,8 |
3,0 |
3,2 |
3,2 |
1,6 |
4,0 |
4,0 |
4,0 |
4,1 |
4,1 |
3,8 |
3,8 |
4,0 |
3,8 |
4,2 |
1,8 |
5,2 |
5,2 |
4,9 |
4,9 |
5,0 |
4,8 |
4,9 |
4,8 |
4,8 |
4,8 |
2,0 |
6,0 |
5,8 |
6,1 |
5,9 |
6,0 |
5,8 |
6,2 |
5,8 |
6,0 |
6,1 |
3. Заданы таблично значения yi функции f(x) в узлах xi. Найти значение функции f(x) при x = 1,9 с помощью второй интерполяционной формулы Ньютона. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.12.
4. Решить задачу 2 с помощью кубического сплайна.
5. Решить задачу 3 с помощью интерполяции кусочно-линейной функцией, график которой проходит через данные точки. Построить этот график.
Указание. Определить отрезок [xi – 1, xi], содержащий точку x* и вычислить f(x) с помощью уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (xi – 1, yi – 1) и (xi, yi):
6. Решить задачу 3 с помощью аппроксимации линейной функцией. Построить график.
7. Для функции y = f(x) на отрезке [a, b] построить интерполяционный многочлен Чебышева 3-го порядка, если f(x) нечетная функция или 4-го порядка, если f(x) четная функция. Построить графики данной функции и многочлена Чебышева. Варианты функций f(x) и отрезков [a, b] приведены в табл. 4.13.
Таблица 4.13
№ варианта |
f(x) |
[a, b] |
№ варианта |
f(x) |
[a, b] |
1 |
cos2(πx) |
[– 1, 1] |
11 |
2sin(πx) |
[– 1, 1] |
2 |
2sin(πx/2) |
[– 2, 2] |
12 |
cos x/(1 + x2) |
[– 3, 3] |
3 |
x3/27 |
[– 3, 3] |
13 |
x3/(1 + x2) |
[– 2, 2] |
4 |
x4/16 |
[– 2, 2] |
14 |
(cos x3)/(1 + x2) |
[– 2, 2] |
5 |
cos(πx) |
[– 3, 3] |
15 |
cos(πx) |
[– 1, 1] |
6 |
sin(πx) |
[– 1, 1] |
16 |
2sin(πx/3) |
[– 3, 3] |
7 |
x4/(1 + x2) |
[– 2, 2] |
17 |
x/(1 + x2) |
[– 2, 2] |
8 |
(sin x)/(1 + x2) |
[– 3, 3] |
18 |
x2/(1 + x2) |
[– 2, 2] |
9 |
2x/(1 + x2) |
[– 4, 4] |
19 |
cos(x/5) |
[– 5, 5] |
10 |
cos3(πx) |
[– 1, 1] |
20 |
cos(πx) |
[– 5, 5] |
8. Для функции y = f(x) построить приближение многочленом g(x), равным отрезку из трех первых членов разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0. Построить таблицу значений и графики функций f(x) и g(x) на отрезке [–1, 1] в одной системе координат. Сравнить полученные графики. Варианты функций f(x) приведены в табл. 4.14.
Таблица 4.14
№ |
f(x) |
№ |
f(x) |
1 |
cos(x2) |
11 |
arcsin(x/2) |
2 |
2sin(x/2) |
12 |
arctg (x/2) |
3 |
sin(x/10) |
13 |
5/(1 + x2) |
4 |
cos(x2/16) |
14 |
cos x3 |
5 |
cos(x)/10 |
15 |
cos(πx) |
6 |
sin(x)/10 |
16 |
2sin(πx/3) |
7 |
ln(1 + x2) |
17 |
e4x |
8 |
(1 + x)1,5 |
18 |
ln(1 + x3) |
9 |
(1 + x)2,5 |
19 |
cos(x/5) |
10 |
e2x |
20 |
cos(x/10) |
Указание. Использовать известные разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 (ряд Маклорена):
1)
для любого x.
2)
для любого x.
3)
для любого x.
4)
–1 < x
≤ 1.
5)
–1 < x < 1.
6)
–1 < x
< 1.
7)
–1 < x
< 1.
8)
–1 < x
≤ 1.
9)
–1 < x
≤ 1.
9. Численность популяции живых организмов N(ti) в заданные моменты времени ti известна. Предполагая, что функция N(t) имеет вид aebt, найти методом наименьших квадратов параметры a, b и вычислить прогнозное значение численности на момент времени t*.
Таблица 4.15
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№ 4 |
№ 5 |
№ 6 |
№ 7 |
№ 8 |
№ 9 |
№ 10 |
||||||||||
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
0 |
120 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
2 |
130 |
1 |
120 |
2 |
120 |
2 |
120 |
1 |
120 |
2 |
120 |
2 |
115 |
1 |
120 |
2 |
125 |
2 |
130 |
3 |
145 |
3 |
135 |
4 |
129 |
3 |
134 |
3 |
137 |
4 |
135 |
3 |
129 |
3 |
135 |
4 |
139 |
3 |
149 |
5 |
154 |
5 |
149 |
5 |
139 |
5 |
150 |
5 |
156 |
5 |
155 |
5 |
150 |
5 |
148 |
5 |
151 |
5 |
168 |
t*= 6 |
t*= 6 |
t*= 6 |
t*= 6 |
t*= 7 |
t*= 6 |
t*= 6 |
t*= 7 |
t*= 6 |
t*= 7 |
||||||||||
№ 11 |
№ 12 |
№ 13 |
№ 14 |
№ 15 |
№ 16 |
№ 17 |
№ 18 |
№ 19 |
№ 20 |
||||||||||
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
t |
N |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
110 |
0 |
115 |
0 |
110 |
2 |
130 |
1 |
120 |
2 |
120 |
2 |
120 |
1 |
120 |
2 |
120 |
2 |
120 |
1 |
120 |
2 |
120 |
2 |
130 |
3 |
133 |
3 |
133 |
5 |
120 |
3 |
140 |
3 |
133 |
5 |
135 |
3 |
135 |
3 |
130 |
4 |
130 |
3 |
147 |
5 |
148 |
6 |
147 |
7 |
133 |
5 |
159 |
6 |
148 |
7 |
160 |
5 |
150 |
6 |
149 |
7 |
149 |
5 |
161 |
t*= 6 |
t*= 7 |
t*= 8 |
t*= 6 |
t*= 7 |
t*= 8 |
t*= 6 |
t*= 7 |
t*= 8 |
t*= 6 |
||||||||||
10. Определить методом наименьших квадратов коэффициенты линейной комбинации тригонометрических функций по табличным значениям (ti, yi). Если по заданным значениям функции можно предположить (приблизительно), что y(t) нечетная, то применить в качестве аппроксимирующей функции F(t) = a1sint + a2sin2t + a3sin3t, а если y(t) четная, взять в качестве аппроксимирующей функции F(t) = a1cost + a2cos2t + a3cos3t. Построить точки (ti, yi) и график функции F(t) на отрезке [–3, 3] с шагом 0,5. Варианты заданий приведены в таблицах 4.16 — 4.18.
Таблица 4.16
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№ 4 |
№ 5 |
№ 6 |
№ 7 |
|||||||
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
-2,0 |
-0,2 |
-2,0 |
-5,1 |
-2,0 |
-0,1 |
-2,0 |
-3,8 |
-2,0 |
0,0 |
-2,0 |
-13,1 |
-2,0 |
0,2 |
-1,5 |
-3,4 |
-1,5 |
-3,6 |
-1,5 |
-2,9 |
-1,5 |
-3,0 |
-1,5 |
-2,1 |
-1,5 |
-9,2 |
-1,5 |
-1,3 |
-1,0 |
-5,2 |
-1,0 |
0,1 |
-1,0 |
-3,8 |
-1,0 |
-0,2 |
-1,0 |
-3,2 |
-1,0 |
-0,2 |
-1,0 |
-1,8 |
-0,5 |
-3,7 |
-0,5 |
3,3 |
-0,5 |
-2,7 |
-0,5 |
3,0 |
-0,5 |
-1,9 |
-0,5 |
9,3 |
-0,5 |
-1,7 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
4,9 |
0,0 |
-0,2 |
0,0 |
4,0 |
0,0 |
0,1 |
0,0 |
13,0 |
0,0 |
-0,1 |
0,5 |
3,7 |
0,5 |
3,6 |
0,5 |
2,7 |
0,5 |
2,8 |
0,5 |
2,3 |
0,5 |
9,2 |
0,5 |
1,3 |
1,0 |
4,9 |
1,0 |
0,2 |
1,0 |
4,1 |
1,0 |
-0,1 |
1,0 |
3,2 |
1,0 |
0,1 |
1,0 |
1,8 |
1,5 |
3,4 |
1,5 |
-3,6 |
1,5 |
3,0 |
1,5 |
-2,6 |
1,5 |
2,0 |
1,5 |
-9,1 |
1,5 |
1,2 |
2,0 |
0,2 |
2,0 |
-5,0 |
2,0 |
0,0 |
2,0 |
-4,2 |
2,0 |
-0,2 |
2,0 |
-13,0 |
2,0 |
0,1 |
Таблица 4.17
№ 8 |
№ 9 |
№ 10 |
№ 11 |
№ 12 |
№ 13 |
№ 14 |
|||||||
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
-2,0 |
0,0 |
-2,0 |
-4,8 |
-2,0 |
-0,1 |
-2,0 |
-4,2 |
-2,0 |
0,1 |
-2,0 |
-13,1 |
-2,0 |
-0,1 |
-1,5 |
-3,6 |
-1,5 |
-3,4 |
-1,5 |
-2,9 |
-1,5 |
-2,6 |
-1,5 |
-1,9 |
-1,5 |
-9,4 |
-1,5 |
-1,2 |
-1,0 |
-4,9 |
-1,0 |
-0,2 |
-1,0 |
-4,2 |
-1,0 |
-0,1 |
-1,0 |
-2,8 |
-1,0 |
0,0 |
-1,0 |
-1,8 |
-0,5 |
-3,4 |
-0,5 |
3,7 |
-0,5 |
-2,9 |
-0,5 |
2,7 |
-0,5 |
-1,9 |
-0,5 |
9,0 |
-0,5 |
-1,4 |
0,0 |
-0,1 |
0,0 |
5,1 |
0,0 |
-0,2 |
0,0 |
3,8 |
0,0 |
-0,1 |
0,0 |
13,2 |
0,0 |
0,1 |
0,5 |
3,4 |
0,5 |
3,6 |
0,5 |
2,7 |
0,5 |
3,1 |
0,5 |
2,1 |
0,5 |
9,0 |
0,5 |
1,2 |
1,0 |
4,9 |
1,0 |
-0,1 |
1,0 |
3,9 |
1,0 |
-0,1 |
1,0 |
3,1 |
1,0 |
0,2 |
1,0 |
1,8 |
1,5 |
3,5 |
1,5 |
-3,4 |
1,5 |
2,6 |
1,5 |
-2,8 |
1,5 |
2,0 |
1,5 |
-9,4 |
1,5 |
1,6 |
2,0 |
0,1 |
2,0 |
-5,2 |
2,0 |
0,2 |
2,0 |
-4,1 |
2,0 |
0,1 |
2,0 |
-13,0 |
2,0 |
-0,1 |
Таблица 4.18
№ 15 |
№ 16 |
№ 17 |
№ 18 |
№ 19 |
№ 20 |
№ 21 |
|||||||
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
t |
y |
-2,0 |
-0,2 |
-2,0 |
-4,9 |
-2,0 |
-0,1 |
-2,0 |
-4,1 |
-2,0 |
-0,1 |
-2,0 |
-13,2 |
-2,0 |
0,1 |
-1,5 |
-3,5 |
-1,5 |
-3,5 |
-1,5 |
-2,9 |
-1,5 |
-3,0 |
-1,5 |
-2,1 |
-1,5 |
-9,2 |
-1,5 |
-1,3 |
-1,0 |
-5,2 |
-1,0 |
0,0 |
-1,0 |
-4,2 |
-1,0 |
-0,1 |
-1,0 |
-3,2 |
-1,0 |
0,1 |
-1,0 |
-2,2 |
-0,5 |
-3,5 |
-0,5 |
3,5 |
-0,5 |
-2,7 |
-0,5 |
2,9 |
-0,5 |
-2,3 |
-0,5 |
9,4 |
-0,5 |
-1,3 |
0,0 |
-0,2 |
0,0 |
4,9 |
0,0 |
0,1 |
0,0 |
4,0 |
0,0 |
-0,1 |
0,0 |
13,0 |
0,0 |
-0,2 |
0,5 |
3,3 |
0,5 |
3,6 |
0,5 |
2,6 |
0,5 |
2,9 |
0,5 |
2,2 |
0,5 |
9,3 |
0,5 |
1,3 |
1,0 |
4,9 |
1,0 |
0,0 |
1,0 |
4,1 |
1,0 |
0,2 |
1,0 |
2,8 |
1,0 |
-0,1 |
1,0 |
2,1 |
1,5 |
3,3 |
1,5 |
-3,4 |
1,5 |
2,9 |
1,5 |
-2,6 |
1,5 |
2,1 |
1,5 |
-9,0 |
1,5 |
1,4 |
2,0 |
-0,2 |
2,0 |
-4,9 |
2,0 |
0,0 |
2,0 |
-4,0 |
2,0 |
-0,2 |
2,0 |
-13,0 |
2,0 |
0,2 |