4.1.3.Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа

Для анализа погрешности интерполяции используется остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа

, .19)

где ξ принадлежит отрезку [a, b], который определяется числами

a = min(x₀, x₁, …, x_n, x), b = max(x₀, x₁, …, x_n, x). (4.20)

Формула (4.19) выводится с помощью функции

φ(x) = f(x) – L_n(x) – KП_{n + 1}(x),

где параметр K выбирается из условия φ(x) = 0:

K = (f(x) – L_n(x))/П_{n + 1}(x).

Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную (n + 1)-го порядка. Тогда φ(x) имеет n + 2 корня x₀, x₁, …, x_n, x и по теореме Ролля производная имеет n + 1 корень, вторая производная равна нулю в n точках, а производная (n + 1)-го порядка равна нулю в некоторой точке ξ из отрезка [a, b], который определяется условиями (4.20). Далее

φ^{(n + 1)}(x) = f^{(n + 1)}(x) – K(n + 1)!,

так как производная (n + 1)-го порядка от многочлена L_n(x) равна нулю, а у многочлена П_{n + 1}(x) старший член равен x ^{n + 1} и производная (n + 1)-го порядка многочлена П_{n + 1}(x) равна (n + 1)!.

Из условия φ^{(n + 1)}( ξ) = f^{(n + 1)}( ξ) – K(n + 1)! = 0 следует

K = f^{(n + 1)}( ξ)/(n + 1)!,

а из равенства φ(x) = f(x) – L_n(x) – KП_{n + 1}(x) = 0 следует (4.19).

4.1.4.Равномерное приближение функции. Многочлены Чебышева

Определение 4.1. Многочлен P_n(x) равномерно приближает на отрезке [a, b] функцию f(x) с точностью ε, если выполняется неравенство

. (4.21)

Приведем без доказательства теорему Вейерштрасса.

Теорема 4.1 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для любого ε > 0 найдется многочлен P_n(x) достаточно высокой степени n, который равномерно приближает на отрезке [a, b] функцию f(x) с точностью ε, т.е. выполняется (4.21).

Определение 4.2. Многочлен P_n(x) называется многочленом наилучшего приближения для функции f(x) на отрезке [a, b], если для любого многочлена Q_n(x) степени n выполняется неравенство

. (4.22)

Многочлены Чебышева определяются рекуррентными формулами

T₀(x) = 1, T₁(x) = x, T_{n + 1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n – 1}(x) при n > 1. (4.23)

Выпишем многочлены Чебышева T_n(x) для n = 2, 3, 4, 5:

T₂(x) = 2xT₁(x) – T₀ = 2x² – 1, T₃(x) = 2xT₂(x) – T₁ = 4x³ – 3x,

T₄(x) = 8x⁴ – 8x² + 1, T₅(x) = 16x⁵ – 20x³ + 5x.

На рис.4.1 представлены графики многочленов Чебышева T_n(x) для n = 0, 1, 2, 3 на отрезке [–1; 1].

Рис. 4.1

Старший коэффициент многочлена T_n(x), т.е. коэффициент при xⁿ, равен 2^{n – 1}.

Справедливо представление многочленов Чебышева через тригонометрические функции

T_n(x) = cos(n arсcos x), при n ≥ 0. (4.24)

Поэтому

| T_n(x)| ≤ 1 для |x| ≤ 1. (4.25)

Корни многочлена Чебышева принадлежат отрезку [–1; 1]:

(4.26)

Многочлены Чебышева T_n(x) с четными индексами являются четными функциями, а с нечетными индексами — нечетными функциями.

Многочлены Чебышева T_n(x) обладают следующим замечательным свойством. Если умножить T_n(x) на 2^{1 – n}, то получится многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [–1; 1].

Теорема 4.2. Если P_n(x) произвольный многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, то справедливо неравенство

, (4.27)

где .

Отметим здесь, что в некоторых учебниках по численным методам [8] многочленом Чебышева называется многочлен , т.е. многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [–1; 1].

Поясним смысл теоремы 4.1 на примерах.

Если n = 2, то теорема 4.1 утверждает, что наибольшее значение любой квадратной функции вида x² + px + q на отрезке [–1; 1] не меньше 2^{1 – 2} = 0,5.

Наибольшее значение любого многочлена вида x³ + px² + qx + r на отрезке [–1; 1] не меньше 2^{1 – 3} = 0,25.

Среди всех квадратных функций вида x² + px + q наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1] многочленом является функция

2^{1 – 2}T₂(x) = x² – 0,5.

Среди всех многочленов вида x³ + px² + qx + r наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1] является многочлен

2^{1 – 3}T₃(x) = (4x³ – 3x)/4 = x³ – 0,75x.

Для произвольного отрезка [a, b] многочлен со старшим коэффициентом 1, наименее уклоняющийся от нуля, получается из заменой

.

Этот многочлен имеет вид

. (4.28)

Корнями многочлена являются точки

. (4.29)

Многочлены Чебышева используются для минимизации погрешности интерполяционной формулы за счет оптимального выбора узлов интерполяции. В формуле остаточного члена (4.19) у многочлена П_{n + 1}(x) старший коэффициент равен 1. Для минимизации погрешности интерполяционной формулы для функции f(x) на отрезке [a, b] нужно взять в качестве узлов интерполяции точки

. (4.30)

являющиеся корнями многочлена . Тогда погрешность интерполяции оценивается неравенством

. (4.31)

Пример 4.5. Построить для функции f(x) = sin(πx) на отрезке [0; 2] наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка. Построить графики многочлена и данной функции в одной системе координат.

Решение. Наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка мы получим, если в качестве узлов интерполяции точки выберем точки по формуле (4.30):

Для вычисления многочлена воспользуемся формулой Лагранжа и аналогично примеру 4.4 составим формулы. В таблице 4.7 приведены расчетные формулы.

Табл. 4.7.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	x=	0
2	i	xi	yi	0	1	2	3		Di	yi/Di
3	0	0,076	0,237	=x-$B3	=B3-B$4	=B3-B$5	=B3-B$6		=ПРОИЗВЕД (D3:G3)	=C3/I3
4	1	0,617	0,934	=B4-B$3	=x-$B4	=B4-B$5	=B4-B$6		=ПРОИЗВЕД (D4:G4)	=C4/I4
5	2	1,383	-0,934	=B5-B$3	=B5-B$4	=x-$B5	=B5-B$6		=ПРОИЗВЕД (D5:G5)	=C5/I5
6	3	1,924	-0,237	=B6-B$3	=B6-B$4	=B6-B$5	=x-$B6		=ПРОИЗВЕД (D6:G6)	=C6/I6
7
8										=СУММ (J3:J6)
9								=D3*E4 *F5*G6		=H9*J8

Поочередно подставляя в ячейку B1 значения 0; 0,2; 0,4; …, 2 в ячейке J9 получим значения многочлена L₃(x). Вычислим в тех же точках sin(πx). Результаты приведены в таблице 4.8. На рис.4.2 приведены графики многочлена L₃(x) и данной функции sin(πx).

Табл. 4.8

x	L3(x)	sin(πx)
0	-0,195	0
0,2	0,733	0,587785
0,4	1,068	0,951057
0,6	0,959	0,951057
0,8	0,554	0,587785
1	0	5,36E-08
1,2	-0,554	-0,58779
1,4	-0,959	-0,95106
1,6	-1,068	-0,95106
1,8	-0,733	-0,58779
2	0,195	-1,1E-07

Рис. 4.2

Как видно из рис. 4.2, графики хорошо согласуются. Это объясняется тем, что кубическая парабола учитывает симметрию синусоиды на данном участке. Очевидно, что если бы мы выбрали четный многочлен L₂(x) или L₄(x), то такого приближения не получили.