4.1.2.Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционные формулы Ньютона пригодны лишь для равноотстоящих узлов интерполирования. Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа, которая применима при любом расположении узлов. Пусть дана система точек x₀, x₁, …, x_n, принадлежащих некоторому отрезку [a, b] и известны соответствующие значения функции y_i = f(x_i). Найдем многочлен L_n(x), удовлетворяющий условиям L_n(x_i) = y_i.

При построении многочлена Лагранжа используются многочлены n-й степени p_i(x), принимающие значение 1 в точке x_i и нулевые значения в остальных узлах интерполяции x_j, j ≠ i. Так как x_j при j ≠ i являются корнями многочлена p_i(x), то справедливо разложение p_i(x) на множители

p_i(x) = C_i(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_{i – 1} )(x – x_{i + 1})… (x – x_n), i = 0, 1,…, n.

Из условия p_i(x_i) = 1 находим значение константы C_i

C_i = 1/[(x_i – x₀)( x_i – x₁)…( x_i – x_{i – 1} )( x_i – x_{i + 1})… (x_i – x_n)],

и получаем выражение для многочленов p_i(x_i):

(4.16)

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

. (4.17)

Формулу Лагранжа можно преобразовать так, чтобы упростить вычисления. Вынесем за знак суммы произведение

П_{n + 1}(x) = (x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n),

которое является многочленом степени n + 1. Получим

Теперь формулу Лагранжа можно записать в виде

, (4.18)

где D_i = (x_i – x₀)(x_i – x₁)…(x_i – x_{i – 1} )(x – x_i)(x_i – x_{i + 1})… (x_i – x_n).

Обратите внимание на то, что в произведении D_i из n + 1 сомножителя вместо скобки (x_i – x_i) присутствует множитель (x – x_i).

Пример 4.4. Вычислить значение функции из примера 4.3 в точке x = 2,3 с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.

Решение в программе Excel. Результат выполнения задания показан в таблице 4.6. В таблице 4.5 для контроля приведены формулы в соответствующих ячейках. Приведем алгоритм ввода данных и расчетных формул.

1) В ячейку A1 вводим имя переменной «x=», а в B1 — ее значение 2,3. Присвоим ячейке B1 имя x. Для этого выделим ячейку B1 и выполним команду «Вставка — Имя — Присвоить — x».

2) В столбцы A2: A7, B2: B7, C2: C7 и строку D2:J2 введем данные как в таблице 4.5.

В остальных заполненных ячейках таблицы 4.5 содержатся формулы, которые рекомендуется ввести в следующем порядке:

3) (Заполнение диагонали.) В ячейку D3 вводим «=x-$B3»; выделим D3, копируем в буфер, а затем поочередно вставим в ячейки E4, F5, G6 и H7. В этих ячейках будут записаны соответственно формулы «=x-$B4», «=x-$B5», «=x-$B6», «=x-$B7».

4) (Заполнение ячеек под диагональю.) В ячейку D4 вводим «=B4-B$3». Копируем D4 маркером заполнения вниз до D7. Аналогично, в ячейку E5 вводим «=B5-B$3». Копируем E5 маркером заполнения вниз до E7; в ячейку F6 вводим «=B6-B$3». Копируем F6 в F7. В ячейку H7 вводим «=x-$B7».

5) (Заполнение ячеек над диагональю.) В ячейку E3 вводим «=B3-B$4». В ячейку F3 вводим «=B3-B$5». Копируем F3 маркером заполнения вниз до F4. в ячейку G3 вводим «=B3-B$6». Копируем G3 маркером заполнения вниз до G5.

6) (Вычисление многочлена Лагранжа.) В ячейку I3 вводим формулу «=ПРОИЗВЕД(D3:H3)» и копируем ее вниз до I7. В ячейку J3 вводим формулу «=C3/I3» и копируем ее вниз до J7. В ячейку J8 вводим «=СУММ(J3:J7)», в ячейку H9 — «=D3*E4*F5*G6*H7», а в J9 — «=H9*J8».

Табл. 4.5.

	C	D	E	F	G	H	I	J
1
2	yi	0	1	2	3	4	Di	yi/Di
3	4	=x-$B3	=B3-B$4	=B3-B$5	=B3-B$6	=B3-B$7	=ПРОИЗВЕД(D3:H3)	=C3/I3
4	5	=B4-B$3	=x-$B4	=B4-B$5	=B4-B$6	=B4-B$7	=ПРОИЗВЕД(D4:H4)	=C4/I4
5	5,5	=B5-B$3	=B5-B$4	=x-$B5	=B5-B$6	=B5-B$7	=ПРОИЗВЕД(D5:H5)	=C5/I5
6	5,7	=B6-B$3	=B6-B$4	=B6-B$5	=x-$B6	=B6-B$7	=ПРОИЗВЕД(D6:H6)	=C6/I6
7	5,8	=B7-B$3	=B7-B$4	=B7-B$5	=B7-B$6	=x-$B7	=ПРОИЗВЕД(D7:H7)	=C7/I7
8								=СУММ (J3:J7)
9						=D3*E4 *F5*G6*H7		=H9*J8

Табл. 4.6.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	x=	2,3
2	i	xi	yi	0	1	2	3	4	Di	yi/Di
3	0	2	4	0,3	-0,5	-1	-1,5	-2	0,45	8,888889
4	1	2,5	5	0,5	-0,2	-0,5	-1	-1,5	0,075	66,66667
5	2	3	5,5	1	0,5	-0,7	-0,5	-1	-0,175	-31,4286
6	3	3,5	5,7	1,5	1	0,5	-1,2	-0,5	0,45	12,66667
7	4	4	5,8	2	1,5	1	0,5	-1,7	-2,55	-2,27451
8										54,51914
9								0,08568		4,6712

Результат f(2,3) = 4,6712 совпадает со значением, полученным в примере 4.3. Так и должно быть, ведь по заданным точкам многочлен n-й степени определяется единственным образом.