4.Приближение функций

Рассмотрим задачи, в которых требуется найти способ приближенного вычисления значения функции в заданной точке. Эти задачи возникают в тех случаях, когда прямое вычисление данной функции y = f(x) для произвольного аргумента невозможно или слишком трудоемко.

Например, функция f(x) определяется как решение сложной задачи. Здесь могут быть известны некоторые свойства функции y = f(x), например, непрерывность и дифференцируемость.

Даже если функция легко вычисляется, может возникнуть необходимость её замены, например, при вычислении некоторых определенных интегралов или специальных функций математической физики (ниже будут приведены примеры). В этом случае вместо подынтегральной функции надо подобрать другую функцию, от которой интеграл легко вычисляется. Разумеется, эта новая функция должна быть приближенно равна в некотором смысле подынтегральной функции.

Если значения функции определяются в результате дорогостоящих экспериментов, могут быть найдены её значения только в некоторых точках, а для вычисления значения в произвольной точке требуется приближенный метод. При этом может быть известен вид функции, но неизвестны параметры, входящие в определение функции. В этом случае задача сводится к определению параметров известной функции.

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции g(x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек (x_i, y_i), i = 1, 2, …, n, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

При точечной квадратичной аппроксимации параметры a₁, a₂, …, a_m аппроксимирующей функции g = g(x, a₁, a₂, …, a_m), m ≤ n, определяются из условия:

.

Если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

При интегральной квадратичной аппроксимации функции y = f(x) на отрезке [a_, b] параметры аппроксимирующей функции g(x, a₁, a₂, …, a_m) определяются из условия:

Примером непрерывной аппроксимации может служить использование конечного числа слагаемых разложения функции в ряд Тейлора, то есть замена функции многочленом.

Наиболее часто встречающимся видом точечной аппроксимации на дискретном наборе из (n + 1)-й точки (x_i, y_i), i = 0, 1, …, n является интерполяция многочленом n-го порядка P_n(x), коэффициенты которого определяются из условий

y_i = P_n(x_i) , i = 0, 1, …n.

Применяя интерполяционный многочлен, можно вычислить значения функции f(x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле), а также определить значение функции за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию). Следует иметь в виду, что погрешность экстраполяции может быть велика.

В том случае, когда интерполяционный многочлен един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная. Если между различными узлами интерполяционные многочлены различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Простейшим случаем локальной интерполяции является кусочно-линейная интерполяция, когда в качестве интерполяционной функции выбирается полином первой степени, то есть узловые точки соединяются отрезками прямой.