Задание

Реализуйте данную схему на примере функции f (x) = х³ + 3х² – 9х + 1.

Шаги	Реализация шагов на примере
	f (x) =
	f (x) = 0; = 0; = 0; х1 = ­­ ; х2 = .
	х
	f (0) = –9; –9 < 0
	Ф ункция возрастает на и Функция убывает на
	___ – точка максимума; f (__) = (__) 3 + 3 (__) 2 – 9 (__) + 1 = ______________ = __. __ – точка минимума; f (_) = _________________________________________= ___.

При исследовании непрерывной функции на наибольшее и/или наименьшее значение на заданном отрезке пользуются следующей схемой.

Схема исследования функции на наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке

а) Найти критические точки функции.

б) Выбрать критические точки, принадлежащие заданному промежутку; вычислить значение функции в этих точках и на концах заданного отрезка.

в) Выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

Самостоятельно: Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х³ + 3х² – 9х + 1 на отрезке .

Замечание. Пользуясь этим исследованием, можно определить область значений функции, так как если функция непрерывна на отрезке, то она на нем достигает своего наименьшего и наибольшего значения.

IV. Способы построения графиков.

Способ 1. На основе преобразований графиков элементарных функций.

№	Функция	Основная функция	Преобразования	Пример
	у = f (х + т).	у = f (х).	Перенос на вектор с координатами (–т; 0)	у =
	у = f (х) + п.	у = f (х).	Перенос на вектор с координатами (0; п)	у =
	у = Аf (х), А > 0	у = f (х).	Изменение каждой ординаты в А раз	у =
	у = Аf (х), А < 0	у = f (х).	Изменение каждой ординаты в А раз и симметрия относительно оси Ох	у =
	у = f (kх).	у = f (х).	Изменение каждой абсциссы в 1/ k раз	у =
	у = f (kх+ т) у = f (k(х+ )).	у = f (х).	Изменение каждой абсциссы в 1/ k раз и перенос на вектор с координатами (–т/ k; 0)	у =
	у = f (х)	у = f (х).	Отражение отрицательных значений функции симметрично относительно оси Ох	у =
	у = f (х)	у = f (х).	Отражение значений функции при отрицательных значениях аргумента симметрично относительно оси Оу	у =
	у = f (х)	у = f (х).	Последовательное выполнение преобразований 8 и 7	у =

Самостоятельно: Построить графики функций для всех составленных примеров.

Способ 2. На основе использования производной.

Самостоятельно: Построить график функции f (x) = х³ + 3х² – 9х + 1.

Совет: по исследованию функции с помощью производной постройте экстремумы функции и «прикиньте» эскиз графика; выберите значения х, которые могут уточнить эскиз графика, и найдите для них значение функции.

Способ 3. По характерным точкам.

Для квадратичной функции характерными точками являются точки:

1. вершина параболы:

абсциссу вершины считают по формуле: ;

ординату вершины у_в вычисляют при найденном значении х_в

2. точки пересечения с осями координат

с осью Ох: составляют и решают уравнение у = 0; если D > 0, то получатся точки (х₁;0), (х₂; 0); если D =0, то получится одна точка (х₁; 0), если D < 0, то делают вывод, что пересечений с осью Ох нет;

с осью Оу: вместо х подставляют число 0 (х = 0); находят значение у = с, делают вывод, что точка (0; с) является точкой пересечения с осью Оу;

3. дополнительные точки (выбираются произвольно и учитывается симметричность параболы относительно прямой, проходящей через ее вершину и перпендикулярную оси Ох).

Самостоятельно: Выделить характерные точки для линейной функции; выбрать пример функции и построить ее график по характерным точкам.