
- •III. Выявление основных свойств функций.
- •Задание
- •Элемент математической культуры как компетенция
- •Задание
- •Задание
- •Задание
- •IV. Способы построения графиков.
- •По материалам лекции нужно знать ответы на вопросы:
- •Нужно знать элементарные функции
- •Нужно знать алгоритмы
- •Глоссарий темы «Функции» шкм
Задание
Реализуйте данную схему на примере функции f (x) = х3 + 3х2 – 9х + 1.
Шаги |
Реализация шагов на примере |
|
f (x) = |
|
f (x) = 0; = 0; = 0; х1 = ; х2 = . |
|
х
|
|
f
|
|
Ф
Функция убывает на
|
|
___ – точка максимума; f (__) = (__) 3 + 3 (__) 2 – 9 (__) + 1 = ______________ = __. __ – точка минимума; f (_) = _________________________________________= ___.
|
При исследовании непрерывной функции на наибольшее и/или наименьшее значение на заданном отрезке пользуются следующей схемой.
Схема исследования функции на наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке
а) Найти критические точки функции.
б) Выбрать критические точки, принадлежащие заданному промежутку; вычислить значение функции в этих точках и на концах заданного отрезка.
в) Выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.
Самостоятельно: Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
f (x)
= х3 + 3х2 – 9х
+ 1 на отрезке
.
Замечание. Пользуясь этим исследованием, можно определить область значений функции, так как если функция непрерывна на отрезке, то она на нем достигает своего наименьшего и наибольшего значения.
IV. Способы построения графиков.
Способ 1. На основе преобразований графиков элементарных функций.
№ |
Функция |
Основная функция |
Преобразования |
Пример |
|
у = f (х + т). |
у = f (х). |
Перенос на вектор с координатами (–т; 0) |
у = |
|
у = f (х) + п. |
у = f (х). |
Перенос на вектор с координатами (0; п) |
у = |
|
у = Аf (х), А > 0 |
у = f (х). |
Изменение каждой ординаты в А раз |
у = |
|
у = Аf (х), А < 0 |
у = f (х). |
Изменение каждой ординаты в А раз и симметрия относительно оси Ох |
у = |
|
у = f (kх). |
у = f (х). |
Изменение каждой абсциссы в 1/ k раз |
у = |
|
у = f (kх+ т) у = f
(k(х+ |
у = f (х). |
Изменение каждой абсциссы в 1/ k раз и перенос на вектор с координатами (–т/ k; 0) |
у = |
|
у = f (х) |
у = f (х). |
Отражение отрицательных значений функции симметрично относительно оси Ох |
у = |
|
у = f (х) |
у = f (х). |
Отражение значений функции при отрицательных значениях аргумента симметрично относительно оси Оу |
у = |
|
у = f (х) |
у = f (х). |
Последовательное выполнение преобразований 8 и 7 |
у = |
Самостоятельно: Построить графики функций для всех составленных примеров.
Способ 2. На основе использования производной.
Самостоятельно: Построить график функции f (x) = х3 + 3х2 – 9х + 1.
Совет: по исследованию функции с помощью производной постройте экстремумы функции и «прикиньте» эскиз графика; выберите значения х, которые могут уточнить эскиз графика, и найдите для них значение функции.
Способ 3. По характерным точкам.
Для квадратичной функции характерными точками являются точки:
вершина параболы:
абсциссу вершины считают по формуле:
;
ординату вершины ув вычисляют при найденном значении хв
точки пересечения с осями координат
с осью Ох: составляют и решают уравнение у = 0; если D > 0, то получатся точки (х1;0), (х2; 0); если D =0, то получится одна точка (х1; 0), если D < 0, то делают вывод, что пересечений с осью Ох нет;
с осью Оу: вместо х подставляют число 0 (х = 0); находят значение у = с, делают вывод, что точка (0; с) является точкой пересечения с осью Оу;
дополнительные точки (выбираются произвольно и учитывается симметричность параболы относительно прямой, проходящей через ее вершину и перпендикулярную оси Ох).
Самостоятельно: Выделить характерные точки для линейной функции; выбрать пример функции и построить ее график по характерным точкам.