Лекция № 6-7. Функции в ШКМ (часть II).

III. Выявление основных свойств функций.

Замечание. Графический способ выявления свойств функций см. в пункте I.

1. Нахождение области определения функции.

Элемент математической культуры как компетенция

ЭМК О структурном анализе математических объектов

В математике анализ объектов чаще всего начинают с анализа его структуры.

Поэтому нахождение области определения функции лучше всего начинать с вопроса: «Как устроена функция?».

Задание

По математическому тексту следующей части лекции определите ключевые слова, задающие структуру функции.

а) функций определены для тех значений аргумента, для которых определены все , т.е. область определения суммы или произведения равна ______________________________ областей определения слагаемых или сомножителей.

Задание

Составьте план нахождения области определения функции в случае а).

1. _______________________________________________________________________

2. _______________________________________________________________________

3. _______________________________________________________________________

Пример. Найти область определения функции f(x) =

1. Арифметический квадратный корень имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. ________________________

Решим неравенство х² – 4  0.

Способ 1 (через преобразования)	Способ 2 (методом интервалов)	Способ 3 (графический)
х2  ___; ______  2; _____________	Нули: х2 = 4; х =______ Интервалы, знаки, ответ: _____________	Функция: у = х2 – 4. Ветви: Пересеч. с ОХ: Г рафик: Решение: _____________

2. Арифметический квадратный корень имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 9 – х²  0.

Решим неравенство 9 – х²  0.

_____________________________

3. Найдем пересечение решений:

Ответ: _____________________________

б) Частное двух функций определено для тех значений аргумента, для которых определены числитель и знаменатель и при этом значения знаменателя отличны от нуля.

Пример. Найти область определения функции f(x) = .

Удобно использовать следующую схему:

1. Выделить выражения, которые не всегда имеют смысл.

2. Определить условия, при которых выделенные выражения имеют смысл и записать их на языке неравенств.

3. Если условие одно, то решить неравенство; если условий несколько, то составить и решить систему неравенств.

Выражение	условие	неравенство
	имеет смысл, если
	имеет смысл, если

Решим первое неравенство: Решим второе неравенство:

_____________ Ответ: _____________

в) Композиция функция определена для тех значений аргумента, для которых, во-первых, определена внутренняя функция, а, во-вторых, значения внутренней функции принадлежат области определения внешней функции.

Например, функция f(x) = определена тогда и только тогда, когда

4х – 1  0 и 2х – > 0 (при работе с логарифмом удобно проговаривать слова: «логарифм имеет смысл, если выражение, стоящее под знаком логарифма, _________________________»).

2. Нахождение области значений функции.

В вводном курсе математики находить область значений функции будем по графику; в курсе элементарной математики будут рассмотрены аналитические способы нахождения области значений.

3. Нахождение нулей функции.

Чтобы найти нули функции у = f(x), надо составить и решить уравнение __________.

4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

Способ 1 (на основе определения).

Используя эскиз графика, определить промежутки возрастания (убывания) функции, а затем доказать возрастание (убывание), пользуясь определением.

Например, для того, чтобы доказать, что функция f(x) возрастает на промежутке I, нужно 1) взять произвольные х₁и х₂ из этого промежутка; 2) допустить, что х₁< х₂; 3) затем доказать f(х₁) ___ f (х₂) (меньшему значению аргумента соответствует ________________ значение функции).