Отношения на множествах.
Бинарное отношение – это свойство, присущее некоторым парам элементов a M1, b M2. Обозначения бинарного отношения R(a, b) или aRb сходны с обозначением алгебраической операции, но результат отношения – выполнение или невыполнение свойства R. Можно также считать, что результат – множество тех пар (a, b), для которых свойство R выполнено.
Инверсией бинарного отношения R называется отношение, обозначаемое R-1 и такое, что aR-1b тогда и только тогда, когда bRa. Понятно, что инверсией отношения R-1 является отношение R, т.е. можно сказать, что отношения R и R-1 взаимно обратны.
Рефлексивные, симметричные, транзитивные отношения
Рефлексивное отношение – бинарное отношение, обладающее свойством: для любого а выполнено а R a.
Aнтирефлексивное
отношение – бинарное отношение,
обладающее свойством: для любого а
выполнено а
a.
Cимметричное отношение – бинарное отношение, обладающее свойством: для любых a, b выполнено aRb bRa (т.е. из aRb следует bRa).
Антисимметричное отношение – такое бинарное отношение, что для любых выполнено: если a ≠ b, то aRb b a (т.е. если a и b – в этом порядке(!) – находятся в отношении R, то b и a – нет). Это же свойство выражают иначе: если aRb и bRa, то a = b.
Отношения эквивалентности
Отношение эквивалентности – бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексив-ности, симметричности и транзитивности.
Отношения порядка x y (читается: x предшествует y) обладают двумя свойствами:
1) если (a b) и (b c), то (a c), т.е. x y – транзитивное отношение;
2) если (a b) и a b, то не выполнено (b a), т.е. x y – антисимметричное отношение.
Первое условие означает, что если первый из трех элементов предшествует второму, а второй предшествует третьему, то первый предшествует третьему. Второе условие означает, что два различных элемента не могут предшествовать друг другу.
Отношение порядка x y может быть строгим, если оно антирефлексивно, и нестрогим, если оно рефлексивно. Примерами строгого порядка могут служить отношения "больше", "меньше", "старше" и т.п. Для чисел обычное обозначение порядка – знаки «<, >». Для нестрогого порядка, наряду с естественными примерами (a b, a b) неравенств для чисел, примером может служить отношение между точками плоскости или пространства "находиться ближе к началу координат".
Отношения порядка устанавливаются на множестве различными способами. Установление для множества некоторого отношения порядка называется его упорядочением, а само множество в результате этого становится упорядоченным.