Числовые и точечные промежутки

Пример, имеющий важные применения, – соответствие между множеством действительных чисел R и множеством точек числовой прямой, т.е. прямой, на которой выбраны начало отсчета (ему сопоставлено число 0) и масштаб, однозначно определяющий равномерную шкалу. Каждой точке прямой соответствует ровно одно действительное число – координата этой точки, и обратно, каждому действительному числу x сопоставляется точка прямой с координатой x. Точка, соответствующая большему числу, находится правее, меньшему числу – левее. Данное соответствие позволяет множество чисел интерпретировать на геометрическом языке как множество точек прямой.

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку, ε-окрестность точки x – симметричный интервал (x – ε, x + ε).

Суперпозиция функций

Функция n переменных (n-местная функция) – это соответствие типа

A₁  A₂  ...  A_n → B (другая форма записи: f(a₁, a₂, ..., a_n) = b,

где a_i  A, b  B). Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень являются двуместными функциями: W = x + y, W = x – y, W = x  y, W = x / y, W = x^y. Двуместными функциями являются также max(x, y) и min(x, y):

^, .

Суперпозиция функций – функция, полученная из n-местной функции f(x₁, x₂, ..., x_n) и системы n функций g₁, g₂, ..., g_n некоторой подстановкой функций g₁, g₂, ..., g_n во внешнюю функцию f вместо переменных и переименованиями переменных.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Операции на множестве

Пример однозначного соответствия между множествами чисел X и Y – функция y = f(x). Функция двух переменных z = f(x, y) сопоставляет числовое значение z паре чисел (x, y).

Функцию можно рассматривать как операцию над элементами числового множества: так, одноместная операция y = преобразует число 9 в число 3, число 5 – в число = 2,236... Аналогично, двуместная операция z = x  y преобразует пару чисел (3, 5) в число 15, другая операция z = x + y сопоставляет той же паре число 8.

Общее понятие алгебраической операции на множестве: элементам множества М сопоставляется элемент того же или другого множества. Операции можно разделить на одноместные, двуместные (называемые также бинарными), трехместные и т.д. Арифметические действия сложения a + b, вычитания a – b, умножения a  b, деления a / b, возведения в степень a^b – бинарные операции.

Операции преобразований плоскости – сжатия, растяжения, отражения, повороты – переводят одни точки плоскости в другие. Алгебраическая операция может применяться и к элементам разных множеств: пример – умножение вектора на число: .

Множество М называется замкнутым относительно операции φ, если применение операции не выводит за пределы множества М, т.е. всякий результат операции над элементами множества М также принадлежит М.

И

зоморфизмом двух алгебр А = (L; φ₁, φ₂, ..., φ_k) и В = (M; ψ₁, ψ₂, ..., ψ_k) называется взаимно однозначное соответствие Г между множествами L = {l} и M = {m} и между операциями φ_i и ψ_i, при котором выполнено

Г(φ_i(l)) = ψ_i(Г(l)) для всех l, φ_i, ψ_i.

Ассоциативной бинарной операцией называется операция φ, если она обладает сочетательным свойством . Ассоциативность позволяет записывать последовательность таких операций без скобок: a b c. Ср. в арифметике формулы a + b + c, abcd.

Коммутативной бинарной операцией называется операция, обладающая свойством перестановочности: a b = b a.

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ