Еще в доньютоновский период появились простейшие понятия комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Франция, XVIII в.). Комбинаторика возникла как основа дискретной теории вероятностей в связи с исследованиями в области азартных игр. Л. Эйлер в середине XVIII в. закладывает основы теории графов; в середине XIX в. Дж. Буль, опираясь на некоторые идеи Г. Лейбница, придумывает свою «универсальную алгебру» в продолжение наметившегося еще в средние века стремления к формализации аристотелевой логики. В конце XIX в., характе-ризующегося, с одной стороны, обобщающе-синтетическим подходом к различным разделам математики, а с другой – стремлением к строгости математических обоснований, происходит поворот к созданию и быстрому расцвету математической логики.

Основным поставщиком задач и идей для ДМ в ХХ в. становится кибернетика, а универсальным вычислительным средством – компьютеры.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА

Множество. Подмножество. Универсальное множество. Множество – одно из первоначальных, наиболее общих понятий в математике, таких как число, точка, которые принимают без определения.

Перечислением задавать множество не всегда удобно, а подчас и невозможно, даже для конечных множеств. Более общий способ: задание множества характеристическим свойством его элементов, т.е. условием, которому удовлетворяют все элементы множества и не удовлетворяют другие объекты.

Для задания множества A характеристическим свойством применяют обозначение A ={x: p(x)} (читается: A есть множество элементов х, удовлетворяющих условию p(x); х служит общим обозначением элементов множества как переменная, p(x) – предикат, содержащий эту переменную.

Порождающая процедура

Еще один способ задания множества связан с понятием порождающей процедуры. При этом множество состоит из всех элементов, которые могут быть получены с помощью некоторой системы операций из заданной конечной системы элементов или множеств.

Простейший пример – задание последовательности элементов множества формулой, содержащей параметр: A = {X_k = 3 + 2(k² + 1)}, k = 0, 1, 2, …

Декартово произведение множеств

Декартовым (прямым) произведением A  B двух множеств A, B называется множество всех пар (a, b), где a  A, b  B.

Например, систему обозначений множества полей шахматной доски (a₅, g₃ и т.п.) можно считать декартовым произведением 8-элементного множества {a, b, ..., h} и 8-элементного множества {1, 2, ..., 8}.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ

Соответствие между множествами

Одно из основных понятий математики, наряду с понятием множества, – соответствие. Пусть А и В – два произвольных множества (в частности, они могут пересекаться или даже совпадать). Если всем или некоторым элементам множества А сопоставлены каким-нибудь способом один или несколько элементов множества В, то говорят о соответствии G: A → B между множествами A и B. Используя понятие прямого произведения, можно сказать, что соответствием G между множествами A и B называется некоторое подмножество пар (a, b)  G  A  B. В этом случае говорят, что b соответствует a. Множество всех b  B, соответствующих элементу a  A, называется образом элемента a. Множество всех a  A, которым соответствует элемент b  B, называется прообразом элемента b. Множество пар (b, a) таких, что (a, b)  G, называется соответствием, обратным по отношению к G, и обозначается G^–1. Понятия образа и прообраза для G и G^–1 взаимно обратны.

Однозначное (функциональное) соответствие A → B, или отображение множества A в множество B – это соответствие, при котором каждому элементу a  A поставлен в соответствие единственный элемент b  B. Например, площадь геометрической фигуры или объем пространственного тела суть их отображения в множество неотрицательных чисел.

Взаимно однозначное соответствие

Если f: A → B – однозначное соответствие и при этом отображении каждый элемент множества B соответствует одному и только одному элементу из A, то f называется взаимно однозначным соответствием (его называют также одно-однозначным). Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то они называются эквивалентными. Для конечных множеств это означает, что оба множества со-держат одинаковое число элементов.

Эквивалентные множества называют также равномощными, или имеющими

одинаковую мощность. Таковы все счетные множества. Счетная мощность – минимальная среди бесконечных. Это означает, что любое бесконечное множество имеет счетное подмножество. Однако существуют и несчетные бесконечные множества.