Лабораторна робота №3 дослідження розподілу температури по довжині теплопровідного стержня та визначення його середнього коефіцієнта тепловіддачі

Мета роботи: 1) визначити розподіл температури по довжині теплопровідного стержня для стаціонарних процесів теплопровідності і конвективної тепловіддачі; 2) за знайденим експериментально середнім темпом охолодження стержня розрахувати коефіцієнт його тепловіддачі при температурі навколишнього середовища, що має місце при проведені досліджень.

1 Теоретичні відомості

Розглянемо стаціонарний процес теплообміну нагрітого довгого теплопровідного стержня з будь-якою формою поперечного перерізу (рисунок Л3.1) і із защемленим одним кінцем та вільним іншим.

Защемлений кінець має температуру t₀=const. Коефіцієнт тепловіддачі бокової поверхні стержня α_p=const. Коефіцієнт теплопровідності матеріалу стержня λ=const. Геометричні параметри стержня задані його площею поперечного перерізу А та параметром U, температура навколишнього середовища t_р=const і кінця стержня t₁=const.

В иділимо на відстані х від защемленого кінця стержня елементарну ділянку dx і розглянемо зміну теплового потоку dQ_х, який проходить через поперечний переріз А стержня на відстані x:

dQх=Qх -QX-dх,

(Л3.1)

де Q_х – тепловий потік, який входить в елемент dx; Q_х-dх – тепловий потік, що виходить з елемента dx.

Оскільки за прийнятими умовами процеси теплопровідності і конвективної тепловіддачі стаціонарні, то зручно оперувати не значеннями температури, а температурними напорами:

Δt0=t0 – tp;	(Л3.2)
Δt=t – tp;	(Л3.3)

де Δt₀ – температурний напір на защемленому кінці стержня, t₀=const; Δt – поточний температурний напір, Δt=var; t – поточна температура стержня, яка при стаціонарному процесі теплопровідності однакова в усьому поперечному перерізі і змінюється тільки по довжині стержня. Зміну температурного напору Δt΄ на ділянці dx можна за відомими правилами математики подати так:

.

(Л3.4)

За законом Фур’є теплові потоки:

;	(Л3.5)
,	(Л3.6)

Підставивши (Л3.5) та (Л3.6) в (Л3.1), знайдемо

.

(Л3.7)

Стержень в стаціонарному режимі обмінюється теплотою з навколишнім середовищем, тоді за законом Ньютона – Ріхмана:

.

(Л3.8)

Порівнюючи (Л3.7) та (Л3.8), отримаємо однорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке описує розподіл температури по довжині стержня

,

(Л3.9)

де - темп охолодження стержня.

Загальний розв’язок рівняння (Л3.9) [1, 2]:

,

(Л3.1)

де С₁ та С₂ – сталі інтегрування.

Оскільки, стержень має скінчену довжину, то умови однозначності розв’язку (Л3.10) можна записати так [2]:

при x=0 - Δt=Δt₀; при x=L

або,

;

(Л3.11)

де Δt_L – температурний напір на кінці стержня; α_L – коефіцієнт тепловіддачі з торцевої поверхні стержня.

При x=L кількість теплоти, що підведена до торця стержня за рахунок теплопровідності, дорівнює кількості теплоти, що віддається поверхнею торця в навколишнє середовище.

Використовуючи умови (Л3.11) та рівняння (Л3.10), знайдемо сталі інтегрування С₁ та С₂:

при x=0 - Δt₁=C₁+C₂; при x=L

та ,

звідки:

;

.

(Л3.12)

Підставляючи С₁ та С₂ в (Л3.10) отримуємо. після нескладних перетворень, закон зміни температури по довжині стержня скінченної довжини для стаціонарних процесів теплопровідності і тепловіддачі

,

(Л3.13)

де враховано, що 0,5(е^mх + е^-mх ) =ch(mx) – гіперболічний косинус та 0,5(е^mх - е^-mх ) =sh(mx) – гіперболічний синус.

Якщо коефіцієнт теплопровідності λ матеріалу (мідь, алюміній чи їх сплави) стержня великий, а діаметр d стержня достатньо малий, то можна вважати, що і тепловіддачею з торця стержня можна знехтувати [2]. В цьому випадку умови однозначності розв’язку (Л3.10) можна записати:

при x=0	Δt=Δt0;	(Л3.14)
при x=L	.

За цих умов у залежності (Л3.13) другі члени чисельника та знаменника перетворюються на нуль і вираз (Л3.13) набуває вигляду:

,

(Л3.15)

або в безрозмірній формі

,

(Л3.16)

де

При x=L , оскільки ch[m(L-L)]=ch0=1 [1]. Для стаціонарного режиму теплопередачі кількість теплоти Q_p, яка віддається поверхнею стержня в навколишній простір, є рівною кількості теплоти, що підводиться до основи стержня за рахунок теплопровідності:

,

(Л3.17)

Взявши похідну від виразу (Л3.15), знайдемо

,

(Л3.18)

Звідки

Qp=λAmΔt0th(mL).

(Л3.19)

Для другого стержня , тоді

Qp=0,785d2λmΔt0th(mL).

(Л3.20)