5.2.Закон больших чисел

Последовательность с.в. {ξ_n} сходится по вероятности к с.в. ξ, если для любого ε>0

или,что эквивалентно . Сходимость по вероятности символически записывается так: ξ_n ξ при n .

Случайные величины {ξ_n, n≥1} называются одинаково распределенными, если они имеют один и тот же закон распределения. Для одинаково распределенных с.в. все числовые характеристики, в частности матем. ожидания и дисперсии, равны между собой.

Закон больших чисел в форме Чебышева. Пусть {ξ_n, n≥1} – последовательность попарно независимых случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, т.е. существует такая постоянная C, что Dξ_n≤C для всех n≥1. Тогда при n

.

Док-во. Положим η_n= . Используя свойство линейности математического ожидания, получаем

.

Из попарной независимости с.в. ξ_k, k≥1, и неравенств Dξ_k≤C, k≥1, следует, что

Dη_n=D = ≤ = . Поэтому по неравенству Чебышева P = P . Переходя в полученном неравенстве к пределу при n→ и воспользовавшись определением сходимости по вероятности получаем утверждение теоремы.

Закон больших чисел для независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Если {ξ_n, n≥1} – последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин с Mξ_n=a,Dξ_n=σ²,n≥1,то при n a

Док-во. Заметим, что

Дисперсии с.в. ξ_n, n≥1, равны одному и тому же числу σ² и => равномерно ограничены.

Смысл закона больших чисел. Законом больших чисел называются теоремы, утверждающие, что при определенных ограничениях на с.в. разность сходится к нулю по вероятности при n . Другими словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость ср.арифметических с.в.: при большом числе с.в. их ср.арифм. практически перестает быть случайной величиной и может быть предсказано с большой степенью достоверности.

5.3.Центральная предельная теорема.

Теорема. Пусть {ξ_n, n≥1} – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Mξ_n=a,Dξ_n=σ²;

. Тогда при n

,где

- функция распределения стандартного нормального закона

Смысл центр. пред. теоремы. Если функции распределения последовательности с.в. {(η_n – A_n)/B_n} сходятся при n к функции распределения Φ(x) стандартного нормального закона, то говорится, что случайная величина η_n при n асимптотически нормальна с параметрами (A_n,B_n). Теорема утверждает тогда, что для независимых одинаково распределенных с.в. {ξ_n} с конечной дисперсией сумма

асимптотически нормальна с параметрами (na, σ ), т.е. функция распределения равна

Где (x)= -функция Лапласа

1.6.Формулы полной вероят-ти и Байеса. Предположим, что в результате испытания событие А может произойти вместе с одним из попарно несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, составляющих полную группу. Тогда вероятность события А можно найти с помощью формулы полной вероятности Поскольку заранее неизвестно, какое из событий H₁, H₂, …, H_n наступит в результате испытания, их часто называют гипотезами. Необходимым (но не достаточным) условием того, что H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу попарно несовместных событий, является выполнение равенства: . Пусть до испытания известны априорные (доопытные) вероятности гипотез Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n). После испытания становится известно, что произошло некоторое событие А. Каковы теперь апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез при условии, что событие А произошло? Ответ дается формулой Байеса i = 1, 2, …., n, где вероятность события А определяется формулой полной вероятности. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после поступления новой информации относительно осуществления того или иного события. Апостериорные вероятности, как и априорные, удовлетворяют соотношению .