3.3. Дискретные случайные величины

Случайная величина ξ называется дискретной, если множество её возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел х₁, х₂, …, х_n, …. В первом варианте с.в. ξ называется конечной, во втором – счетной. Закон распределения дискретной с.в. может быть задан рядом распределения, который представляет собой совокупность всех возможных значений с.в. х₁ < х₂ < …< х_n < …. и соответствующих им вероятностей р₁, р₂, …, р _n,…. Ряд распределения дискретной случайной величины может быть задан аналитически в виде формулы, устанавливающей связь между возможными значениями с.в. и соответствующими им вероятностями: p_k=P{ =x_k }=f(x_k), k=1,2,…,n,…. Многоугольник распределения – ломаная на плоскости, соединяющая последовательно точки с координатами (x_k,p_k), k=1,2,…,n,…. Пусть А – произвольное множество на действительной прямой. Тогда вероятность того, что с.в.  в результате испытания примет какое-либо значение из множества А задается формулой: где суммирование ведется по всем индексам k, для которых x_k  A.

Вырожденное распределение. Случайная величина ξ имеет вырожденное распределение, сосредоточенное в точке x=C (C - постоянная), если P{ ξ =C}=1. Вырожденное распределение имеет с.в. ξ= ξ(ω)≡C для любого ω Є Ω, т.е. постоянные величины представляют «вырожденный» тип с.в. Распределение Бернулли. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром p(0≤p≤1), если она принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1 – p=q и p соответственно. Распределение Бернулли с параметром p имеет число «успехов» в одном испытании Бернулли с вероятностью p осуществления «успеха». Биноминальное распределение. Случайная величина ξ имеет биноминальное распределение с параметрами n и p(n – натуральное число, 0≤p≤1), если она принимает значения 0,1,…, n с вероятностями p_k=P{ξ=k}=C^k_np^kq^n-k, k=0,1,…, n; q=1 – p. Биноминальное распределение является не чем иным, как распределением числа Ѵ_n «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью p «успеха» и «неудачи» q=1 – p. Геометрическое распределение. Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром p(0≤p≤1), если она принимает значения 1,2,…, n,…. с вероятностями p_k=P{ξ=k}=pq^k-1, k=1,2,…, n, …. Геометрический закон распределения является распределением числа испытаний Бернулли до появления первого «успеха», включая последнее успешное испытание, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна p. Распределение Пуассона. Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ(λ≥0), если она принимает значения 0,1,2,…, n, … с вероятностями p_k=P{ξ=k}=(λ^k/k!)e^-λ, k=0,1,…, n,….

4.1.Математическое ожидание с.В.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной с.в. ξ называется величина Мξ, равная сумме произведений значений х_k с.в. ξ на соответствующие им вероятности р_k (k = 1, 2, …, n, …):

Мξ = . При этом предполагается, что ряд в правой части формулы абсолютно сходится, т.е. . В противном случае говорят, что математического ожидания у с.в. ξ не существует.

Математическим ожиданием (средним значением) непрерывной с.в. ξ с плотностью распределения р(х) называется величина . При этом предполагается, что интеграл в правой части формулы абсолютно сходится, т.е. .

Свойства: 1) MС = C, где С = const; 2) M(C) = CM, где С = const;

3) M(  ) = M  M для любых с.в.  и ;

4) для любых постоянных C₁, …, C_n и любых с.в. ₁, … , _n; 5) , если с.в. ₁, … , _n независимы.