9.3. Очень нетривиальная задача на закон сохранения энергии

Подавляющее большинство конкурсных задач по механики подразумевают использование законов сохранения энергии и импульса в сочетании с законами Ньютона или какими-либо другими идеями физики. В качестве примера рассмотрите задачу, предлагавшуюся на письменных вступительных экзаменах по физике в СПбГУ в 80-х годах 20 века.

Пример 9.3. Груз на невесомой и нерастяжимой нити

Груз массой m подвешен на невесомой и нерастяжимой нити длиной L. В начальный момент нить была натянута и располагалась горизонтально. Груз отпускают без начальной скорости. В тот момент, когда груз пересекает вертикаль, проходящий через точку закрепления нити, горизонтальная составляющая его скорости имела величину u. Найти максимальное натяжение, испытанное нитью.

Решение:

На первый взгляд кажется, что задача является "переопределенной": скорость в нижней точке траектории может быть легко определена, исходя из закона сохранения энергии. Однако, в случае указания в условии задачи какого-либо набора заданных параметров, необходимо исследовать решение задачи при всех возможных сочетаниях заданных параметров. Так, можно представить себе ситуацию, при которой заданная горизонтальная составляющая скорости u окажется меньше рассчитанного с использованием закона сохранения энергии значения из-за того, что невесомая нерастяжимая нить может … разорваться! Очевидно, что после разрыва нити груз будет двигаться по параболической траектории, при этом горизонтальная составляющая скорости груза не будет изменяться во времени.

	(9.16)	Второй закон Ньютона для груза, движущегося на невесомой нерастяжимой нити.
	(9.17)	Вычисление скорости груза в заданной точке траектории с помощью закона сохранения энергии.
	(9.18)	Сила натяжения нити в тот момент, когда она составляет угол a с вертикалью: при уменьшении угла сила натяжения возрастает.
	(9.19)	Угол, соответствующий разрыву нити.
	(9.20)	Максимальная сила натяжения нити.

9.4. Парадокс кинетической энергии

В соответствии с принципом относительности Галилея, любую задачу механики можно решать в любой инерциальной системе отсчета, независимо от скорости ее движения. В связи с этим представляет интерес рассмотрение следующего кажущегося парадокса, связанного с изменением кинетической энергии при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Рассчитаем конечную скорость заводного автомобильчика массой m, пружинка которого жесткости k деформирована на величину Dx, если тепловые потери энергии отсутствуют, в той системе отсчета, где автомобиль первоначально покоился. Закон сохранения энергии в этом случае имеет вид (9.21) и позволяет легко найти конечную скорость движения автомобиля. Совершенно неожиданным кажется тот факт, что аналогичное решение задачи с точки зрения наблюдателя, бегущего навстречу автомобильчику со скоростью v, приводит к ответу, отличающемуся от ранее полученного в корень из трех раз (9.22).

Разрешение кажущегося парадокса состоит в том, что оба приведенные варианта решения (9.21) и (9.22) не являются точными, поскольку в них не учитывалось движение Земли, вызванное взаимодействием с колесами автомобиля. Т.о. системы отсчета, связанные с Землей и равномерно бегущим по ее поверхности наблюдателем не являются инерциальными. Если решать задачу с точки зрения наблюдателей, находящихся в истинно инерциальных системах отсчета, никаких противоречий не возникает.

	(9.21)	Решение задачи о заводном автомобильчике в неподвижной системе отсчета.
	(9.22)	Решение задачи о заводном автомобильчике в движущейся системе отсчета