5.5. Сила упругости

Возникновение сил упругости обусловлено электромагнитными взаимодействиями. При деформации тел расстояния между слагающими их атомами и молекулами изменяются, что приводит к возникновению сил притяжения между частицами. В общем случае связь между величиной действующей на тело силы и его деформацией оказывается весьма сложной (5.21). При малых деформациях сила упругости оказывается примерно пропорциональной величине деформации (удлинения или сжатия)тела. При наличии пропорциональности между действующей на тело силой и величиной деформации говорят о выполнении закона Гука. Коэффициент пропорциональности между силой и деформацией называют коэффициентом упругости. В подавляющем большинстве задач школьного курса подразумевается выполнение закона Гука для сколь угодно больших деформаций тел (пружин).

(5.21)

Реальная зависимость силы упругости от величины деформации и приближенный закон Гука.

6.1. Основная задача механики и законы Ньютона

Основная задача механики состоит в определении положений и скоростей тел в произвольный момент времени по известным положениям и скоростям в начальный момент (начальным условиям).

В рамках классической механики решение сформулированной задачи обеспечивается установленными И.Ньтоном законами движения. Действительно, положение (т.е. радиус- вектор) материальной точки r(t) в произвольный момент времени может быть найдено, если известно ее начальное положение r(0) и скорость v(t) в произвольный момент времени. Для нахождения скорости необходимо знание ее начального значения v(0) и ускорения ("скорости изменения скорости") в произвольный момент времени a(t). На первый взгляд может показаться, что возникшая задача приводит к бесконечной цепочке: для нахождения ускорения нужна информация о скорости его изменения и т.д. Однако, установленные И.Ньютоном законы движения позволяют оборвать эту цепочку на конечном шаге: ускорение может быть найдено как отношение действующей на тело силы к его инертной массе (6.1).

В реальности описанный алгоритм решения задач механики оказывается труднореализуемым из-за того, что действующие на тела силы могут зависеть не только от времени, но и от скорости и положения тела в пространстве. В результате возникает "самозацепленная" задача, которую в математике принято называть обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (6.2). Решение такого уравнения в общем случае представляет определенные сложности. В курсе высшей математики доказывается теорема о том, что классическое уравнение движения (6.2) совместно с начальными условиями (при некоторых ограничениях, которые всегда выполняются для реальных физических систем) всегда имеет решение и при том - единственное.

В случае движения нескольких точечных тел для каждого из них может быть записано уравнение вида (6.2). Для получившейся конечной системы так же может быть доказана теорема существования и единственности решения.

Т.о. в рамках классической физики существует строгая детерминированность механических систем: исходное состояние системы (начальные положения и скорости всех составляющих ее материальных точек) однозначно определяют ее будущее состояние в любой последующий момент времени. Сформулированное свойство макроскопических систем кажется несколько неожиданным и противоречащим нашему жизненному опыту (в реальном мире присутствует случайность). Реальный мир действительно не является строго детерминированным из-за того, что классические законы движения неприменимы для описания микрочастиц (атомов и молекул), поведение которых подчиняется законам квантовой механики и носит принципиально вероятностный характер.

	(6.1)	Алгоритм решения основной задачи механики
	(6.2)	Второй закон Ньютона как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.