6. Статистические методы исследования

ТОЧНОСТИ ОБРАБОТКИ

6.1 Виды погрешностей и их характеристика

В процессе обработки партии заготовок на настроенных станках их размеры постоянно колеблются в определенных границах, отличаясь друг от друга и настроечного размера на величину случайной погрешности. Рассеяние размеров вызывается совокупностью причин случайного харак-тера, не поддающихся точному предварительному определению и проявляю-щих свое действие одновременно и независимо друг от друга. К таким при-чинам относятся: колебания твердости обрабатываемого материала и величина снимаемого припуска; изменение исходного положения заготовки в приспособлении; неточности установки суппортов по упорам и лимбам; колебания температурного режима обработки и упругих отжатий элементов технологической системы под влиянием нестабильных сил резания и т. д.

Для выявления и анализа закономерностей распределения размеров за-готовок при их рассеянии применяются методы математической статистики.

Все погрешности, возникающие при изготовлении заготовок, их механической обработке, сборке и т. д. можно разделить на три группы: систематические постоянные; систематические закономерно изменяющиеся и случайные.

Систематические постоянные погрешности не изменяются при обработке одной заготовки или партии заготовок. Они возникают под воздействием одного о того же фактора, например, неперпендикулярность оси шпинделя сверлильного станка к плоскости стола станка. При сверлении отверстий всегда будет иметь место перекос отверстия (рис.6.1).

Рис. 6.1. Перекос оси просверливаемого отверстия

Систематические закономерно-изменяющиеся погрешности. Они изменяют свою величину или знак при переходе от одной обрабатываемой заготовки к другой. Эти погрешности влияют на точность обработки периодически или непрерывно. Характерными источниками этих погрешностей являются: размерный износ инструмента, тепловые деформации станка и т. д.

Случайные погрешности возникают в результате действия большого числа факторов. Случайные погрешности не постоянны по величине и знаку, их появление не подчиняется никакой закономерности. Эти погрешности вызывают рассеяние размеров деталей, обработанных в одних и тех же условиях. Появление случайных погрешностей связано со следующими факторами:

− колебание твердости поверхности обрабатываемого материала;

− погрешность установки заготовки в приспособлении (базирование и закрепление);

− изменение величины снимаемого припуска;

− неточность установки суппортов по упорам и лимбам;

− колебания температурного режима обработки и упругих отжатий в технологической системе под действием нестабильных сил резания и т. д.

6.2 Законы распределения погрешностей

Законы распределения устанавливают связь между значением случайной или закономерно-изменяющейся величиной и вероятностью, с которой эта величина может появиться.

Случайные и закономерные погрешности обуславливают рассеяние размеров или других параметров. Это значит, что одноименные размеры заготовок или размеры детали, полученные обработкой резанием в одинаковых условиях (на одном станке, одной настройки и т. д.) различаются между собой.

В машиностроении применяют несколько законов распределения случайных и закономерно-изменяющихся погрешностей, которые используются для статистической оценки качества изделий.

1. Закон равной вероятности. Этот закон действует в случаях, когда размер детали изменяется от действия только одного фактора по закону прямой. Примером такого распределения может быть размерный износ режущего инструмента в установившемся режиме, изменяющийся по прямой линии (рис.6.2).

L, мм

а б

Рис.6.2. Закон равной вероятности

Уменьшение длины инструмента в результате износа ведет к изменению размеров обрабатываемой заготовки(увеличению при обработке валов и уменьшению при обработке отверстий). Размер изменяется на величину 2l =b - a за период времени t₁ –t₂. Распределение размеров заготовки в интервале от а до b выражается прямоугольником (рис. 6.2, б) с основанием 2l и высотой (ординатой) 1/2l.

Площадь прямоугольника равна единице, что означает 100% вероятность появления размера заготовки в интервале размеров от а до b.

Среднее арифметическое отклонение размера равно

. (6.1)

Средне квадратическое отклонение размера равно

. (6.2)

Фактическое поле рассеяния размеров равно

(6.3)

Закон равной вероятности распространяется на распределение размеров заготовок повышенной точности (5 – 5 квалитеты и выше) при их обработке по методу пробных проходов.

2 . Закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона). Этот закон применяется при обработке заготовок с точностью 7-го и 8-го, а в некоторых случаях и 6-го квалитетов. Распространяется закон Симпсона на случаи обработки, когда размер деталей вначале увеличивается резко, а затем замедляется. Распределение размеров во таких случаях подчиняется закону Симпсона, который имеет вид равнобедренного треугольника (рис. 6.3).

Рис.6.3. Закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона)

Поле рассеяния размеров по закону Симпсона равно

, (6.4)

где σ – среднее квадратическое отклонение размеров обрабатываемых заготовок, которое определяется по формуле

, (6.5)

где L_i – текущий действительный размер; L_ср – среднее арифметическое значение действительных размеров заготовок данной партии; m_i – частота (количество заготовок данного интервала размеров); n – количество заготовок в партии.

3. Закон эксцентриситета (закон Релея). Этому закону подчиняются такие существенно важные величины как: эксцентриситет, биение, разностенность, непараллельность, неперпендикулярность, овальность, конусообразность и другие погрешности (рис. 7.4).

б

а

Рис. 6.4. Закон эксцентриситета (закон Релея)

Распределение по закону Релея формируется в случаях, когда случайная величина R является радиус-вектором при двумерном гауссовом распреде-лении, т. е. если она представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин х и у.

. (6.6)

Каждая из случайных величин х и у подчиняется закону нормального распределения Гаусса с параметрами

; . (6.7)

Закон Релея однопараметрический и кривая распределения описывается уравнением

, (6.8)

где σ₀ – среднее квадратическое отклонение значений координат х и у.

Основными параметрами закона Релея являются: среднее арифметическое значение переменной случайной величины (эксцентриситет, разностенность и т. д.) R_ср, ее среднее квадратическое отклонение σ_R и среднее квадратическое отклонение σ₀ координат х и у конца радиуса вектора R. Все эти параметры связаны между собой соотношениями

$

R_ср = 1,92; σ_R =1,253σ₀ .

Фактическое поле рассеяние переменной величины радиус-вектора R (эксцентриситета, разностенности, непараллельности и т. д.) находят из выражений

,

. (6.9)

4. Закон нормального распределения (закон Гаусса). Многочисленными исследованиями профессоров А. Б. Яхина, А. А. Зыкова и других установлено, что распределение действительных размеров заготовок, обработанных на предварительно настроенных станках подчиняется закону нормального распределения (закону Гаусса). Эти размеры формируются под воздействием большого числа случайных факторов, зависящих от качества технологической системы «станок − приспособление − инструмент − деталь» и других факторов.

Закон нормального распределения устанавливает связь между значением случайной величины и вероятностью, с которой эта величина может появиться. Уравнение кривой нормального распределения имеет вид

, (6.10)

где σ – среднее квадратическое отклонение размера, которое определяется по формуле

; (6.11)

x_i – текущее значение получаемого размера; – ожидаемая величина размера (среднее арифметическое значение ожидаемого размера).

Графически закон нормального распределения (закон Гаусса) имеет вид, показанный на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Кривая нормального распределения (закон Гаусса)

Среднее арифметическое значение размера L_ср данной партии обрабатываемых заготовок, характеризует положение центра группирования размеров.

Анализ уравнения (6.10) показывает, что кривая нормального распределения (рис.6.5) симметрична относительно оси ординат. Значениям величин х (точка В) и –х (точка А) соответствуют одинаковые значения ординаты у. При L_i = L_ср кривая имеет максимум, равный

. (6.12)

На расстоянии ±σ от оси ординат кривая имеет точки перегиба А и В.

Ордината точек перегиба равна

. (6.13)

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии ±3σ от оси ординат. В пределах ±3σ оказывается 99,73 % площади между всей кривой и осью абсцисс. В практических расчетах принимают площадь ограниченную ±3σ и кривой нормального распределения за 100 %. Возникающая при этом допущении погрешность составляет 0,27 %.

При увеличении средне квадратического отклонения (σ) величина У_max уменьшается, а поле рассеяния ω =6σ возрастает. В результате этого кривая нормального распределения становится пологой и низкой, что свидетель-ствует о большом рассеянии размеров, а, следовательно, уменьшении точнос-ти. Поэтому средне квадратическое отклонение размеров σ является мерой рассеяния или мерой точности.

Закон нормального распределения (закон Гаусса) в большинстве случаев оказывается справедливым при механической обработке заготовок с точностью 8, 9 и 10-го квалитетов и грубее.

Закон нормального распределения применяют для оценки точности деталей в обрабатываемой партии и размера партии деталей для обработки с одной настройки станка.