3.5. Теоретико – вероятностный метод расчета

размерных цепей

При выводе формул (3.2) – (3.4) для расчета размерных цепей способом “максимума – минимума” предполагалось, что в процессе обработки деталей или сборки все звенья размерной цепи могут принимать либо максимальные значения, либо минимальные. Однако на практике это маловероятно, так как отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска и сочетание деталей с такими отклонениями происходит наиболее часто. Если допустить очень малую вероятность (например, 0,27 %) несоблюдения предельных значений замыкающего звена, то можно существенно расширить допуски составляющих звеньев, что позволит снизить себестоимость изготовления деталей. На этих положениях и основан теоретико–вероятностный метод расчета размерных цепей.

Первая задача. Предполагая, что погрешности составляющих и замыкающего звена размерной цепи подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса), а границы рассеяния (6σ) совпадают с границами полей допусков можно принять ТА_i = 6σ_Аi или σ_Аi = 1/6TA_i. Соответственно будут выполняться равенства ТА₀ = 6σ_А0 или σ_А0 = 1/6TA₀. При этом у 0,27 % деталей размеры замыкающих звеньев могут выходить за пределы поля допуска.

Используя уравнение суммирования погрешностей можно записать

(3.38)

где σ_∑ − суммарная погрешность размеров деталей, входящих в размерную цепь; σ_xi − текущее значение погрешности i-го звена размерной цепи; n – число составляющих звеньев размерной цепи.

После подстановки значений σ_Аi и σ_А0 в уравнение (3.38) и проведения соответствующие преобразования получим уравнение для определения допуска замыкающего звена

(3.39)

ⁱ⁼¹

После определения ТА₀ по формуле (3.17) находят координату середины поля допуска замыкающего звена Ec(А₀), а по уравнениям (3.11), (3.12) – величины Es(A₀) и Ei(A₀).

Формула (3.39) выведена исходя из предположения, что распределение действительных размеров подчиняется закону нормального распределения, центр группирования размеров совпадает с серединой поля допуска, а величина рассеяния размеров не превышает допуска.

На практике могут быть случаи, когда закон распределения размеров несимметричен, а центр группирования размеров не совпадает с серединой поля допуска (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Координата центра группирования для несимметричной кривой

Координата центра группирования для несимметричного закона распределения может быть определена по формуле

(3.40)

где α_i – коэффициент относительной асимметрии несимметричной кривой распределения отклонений i-го размера.

Коэффициент α_i определяет величину смещения центра группирования отклонений относительно середины поля допуска TA_i и выражается в долях половины допуска. Из формулы (3.40) можно определить величину коэффициента α_i.

(3.41)

Если поле допуска симметрично относительно номинального размера, а закон распределения является нормальным, Ec(A_i) = 0, Eм(A_i) = 0 и α_i = 0. При условии асимметрии кривой распределения размеров с коэффициентом асимметрии α_i, координата середины поля допуска равна

(3.42)

Координаты середины поля допуска и предельные отклонения замыкаю-щего звена определяют по уравнениям (3.17), (3.11) и (3.12) соответственно после расчета Ec(A_i) для асимметричной кривой распределения по уравнению (3.42). Следовательно, порядок расчета координаты середины поля допуска и предельных отклонений замыкающего звена для симметричного и асимметричного распределения размеров отличается только в одном – для асимметричного распределения расчеты ведутся с учетом коэффициента относительной асимметрии кривой распределения размеров α_i.

В производственных условиях случайные погрешности размеров деталей могут распределяться не по закону нормального распределения (кривой Гаусса). В этом случае при определении допуска замыкающего звена для любого закона распределения в расчетную формулу вводиться коэффициент относительного рассеяния размеров

(3.43)

где k_0, k_i – коэффициенты, характеризующие отличие закона распределения погрешностей i-го и замыкающего звеньев от нормального распределения по закону Гаусса.

Коэффициент k_i определяется из соотношения k_i = 6σ/V_m (где V_m – предельное поле рассеяния случайной величины).

Для закона нормального распределения V_m = 6σ. В этом случае

(3.44)

Для закона равной вероятности

(3.45)

При распределении по закону распределения близкому к закону Симпсона (закону треугольника) значение ki равно

(3.46)

Эффективность применения теоретико – вероятностного метода расчета размерных цепей очевидна из следующего примера.

Предположим, что размерная цепь состоит из четырех составляющих звеньев с равными допусками ТА₁ = ТА₂ = ТА₃ = ТА₄. Тогда по формуле (3.39) допуск замыкающего звена равен

откуда

При решении задачи по способу “максимума – минимума” будем иметь

откуда .

Как видно из примера, применение теории вероятностей в условиях приведенного примера при одинаковом допуске замыкающего звена (в сопоставлении со способом “максимума – минимума”) расширить в два раза допуски составляющих звеньев. Но при этом у 0,27 % деталей размерной цепи (три детали из тысячи) предельные значения замыкающего звена могут быть не выдержаны, то есть имеется возможность появления брака.

Вторая задача. Допуски составляющих размеров при известном допуске замыкающего звена можно рассчитывать четырьмя способами.

1. При способе равных допусков принимают, что величины TA_i, Ec(A_i), α_i и k_i для всех составляющих звеньев размерной цепи одинаковы. По заданной величине ТА₀ определяют средние допуски T_mA_i удовлетворяющие равенству (3.39) или (3.43).

Из равенства (3.43) получаем

откуда средний допуск равен

. (3.47)

Если коэффициент k_i неодинаковый для всех звеньев размерной цепи, то формула (3.47) имеет вид

(3.48)

Найденные значения T_mA_i и Ec (A_i) корректируют, учитывая требования конструкции и возможность применения методов обработки деталей, при которых экономическая точность близка к требуемой точности размеров.

2. При способе равной точности (назначение допусков одного квалитета) расчет аналогичен расчету размерных цепей методом полной взаимозаменяемости по уравнению (3.26), но с учетом коэффициента k_i, характеризующего отклонение закона распределения размеров размерной цепи от закона нормального распределения Гаусса. Решая совместно уравнения (3.26) и (3.43) относительно числа единиц допуска (а) получим

(3.49)

3. Способ пробных расчетов заключается в назначении экономически целесообразных для данного производства допусков на составляющие звенья размерной цепи. При этом учитываются конструктивные требования, опыт эксплуатации подобных машин и механизмов и проверенных для данного производства значений коэффициентов α_i и k_i. С целью повышения надежности, долговечности и точности, а также обеспечения функциональной взаимозаменяемости машин допуски и предельные отклонения составляющих звеньев и замыкающего звена ответственных узлов выпускаемых машин корректируют в сторону их ужесточения. Этим самым создают запас на износ. После назначения допусков и отклонений правильность расчетов проверяют по уравнению (3.43). Если условие по уравнению (3.43) не выполняется, то допуски, а иногда и номинальные размеры составляющих звеньев корректируют.

4. Способ равного влияния основан на том, что допустимое отклонение каждого составляющего звена размерной цепи должно вызывать одинаковое изменение размера замыкающего звена. Этот способ применяют при решении плоских и пространственных размерных задач.

ЛЕКЦИЯ № 4