Задания для самостоятельного решения
1.
Векторы
и
взаимно перпендикулярны (ортогональны),
причем 
и 
.Определить
и 
.
2.
В треугольнике АВС:
,
.
Полагая, 
и 
,
выразить векторы 
и 
через векторы
и
.
3.
В параллелограмме ABCD
обозначены:
,
.
Выразить через
и
векторы 
,
,
и 
,
где М
– точка пересечения диагоналей
параллелограмма.
4.
Векторы
и 
служат диагоналями параллелограмма
ABCD.
Выразить векторы
,
,
,
через векторы
и
.
3.2. Линейная комбинация векторов Векторный базис на плоскости и в пространстве
Определение.Линейной
комбинацией векторов
,
называется
сумма произведений этих векторов на
какие-нибудь числа 
:
.
Определение.Векторным базисом в данной плоскости называется любая пара неколлинеарных векторов и этой плоскости.
Два и более векторов в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в этой плоскости.
Определение. Векторным базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора , .
Вектор
называют при этом первым базисным
вектором, 
вторым,
- третьим.
Замечание.
Три вектора 
,
и
образуют
базис пространства, если определитель,
составленный из их координат, отличен
от нуля:
.
Теорема.
Пусть
,
- векторный базис в пространстве. Тогда
любой вектор
в пространстве может быть представлен,
и притом единственным образом, в виде
линейной комбинации базисных векторов
,
:
.
(**)
Определение. Равенство (**) называют разложением вектора по базису , , а числа x, y, z – координатами вектора в базисе. пишут Краткопишут: =(x; y; z)
Определение. Базис , называется ортонормированным, если векторы , попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения
.
Действия над векторами,заданными своими координатами
Теорема.
Пусть на плоскости выбран векторный
базис
,
и
относительно него векторы
и
заданы своими координатами:
,
.
Тогда
,
т.
е. при сложении или вычитании векторов
складываются или вычитаются их одноименные
координаты;
т.
е. при умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число.
Условие коллинеарности двух векторов
Теорема. Вектор коллинеарен ненулевому вектору в том и только в том случае, когда координаты вектора пропорциональны соответственным координатам вектора , т. е.
.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в пространстве, производятся аналогично.
Пример.
Пусть даны векторы
,
,
в некотором векторном базисе , .
Найти
координаты линейной комбинации 
.
Решение: Введем обозначение для линейной комбинации
.Коэффициенты
линейной комбинации 
.
Запишем данное векторное равенство в
координатной форме
.
Очевидно, что каждая координата линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации одноименных координат, т. е.
Координаты
вектора 
базисе
,
.
будут:
Ответ:
Пример.
Проверить, что векторы
и
на
плоскости не коллинеарны, и разложить
вектор 
по
базису 
.
Решение:
Проверить для векторов
условиеколлинеарности. Так как 
,
то векторы не коллинеарны. Следовательно,
они образуют базис на плоскости.
Пусть
.
В координатной форме будет линейная
система двух уравнений с двумя
неизвестными:
Решив
ее, находим 
.
Итак,
.
Ответ: .
Пример.
Даны три вектора 
.
Определить разложение вектора 
по
базису 
.
Решение:
а) найдем координаты вектора 
;
б)
проверим, образуют ли векторы 
базис на плоскости. Если они образуют
базис, то должны быть не коллинеарными,
т.е. одноименные координаты не
пропорциональны 
.
Представим
вектор 
в виде линейной комбинации векторов
:
.
В координатной форме получим алгебраическую
систему двух уравнений с двумя
неизвестными: 
,
или 
.
Решив систему, получаем 
.
Следовательно, 
.
Ответ:
в базисе
.
Пример.
Показать, что тройка векторов 
,
,
образуют
базис в множестве всех векторов
пространства. Вычислить координаты
вектора 
в базисе 
и
написать соответствующее разложение
по базису.
Решение:
Ответ:
.