Задания для самостоятельного решения

1. Найти сумму и разность чисел

2. Найти произведения комплексных чисел:

а) 2 – 3i и 1 + 2i; б) 3 + 5i и 4 – i.

3. Найти а) ; б) в) .

4. Какие множества точек плоскости задаютсяусловиями: а) 1 ≤ Re z < 2; 3 <Im z ≤ 5; б) Im z ≥ 2.

2.2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Из следует, что

х = rcos φ, у = rsinφ,

Тогда комплексное число z =х + iy можно записать в тригонометрической форме

z = r(cosφ + i sin φ).

Определение. Число называется модулем комплексного числа

z = х + iy и обозначается символом , т. е. .

Тогда . Модуль числа z равен расстоянию r точки М, изображающей это число, от началакоординат.

Из равенств (1) получим систему уравнений

для определения угла φ.

Определение. Всякое решение φ системы (*) уравнений называется аргументом комплексного числа z = х + iy ≠ 0. Все аргументы числа z различаются на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Arg z.

Определение. Главным значением аргумента называется значение Arg z, удовлетворяющее условию 0 ≤ Arg z < 2π(или условию -π <Arg z ≤π) и обозначается символом arg z.

Таким образом,

Arg 2 = arg z + 2kn, k = 0, ±1, ±2, ...

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа

тогда

Формула Муавра

, гдеn - целоечисло.

Корень n-й степени из комплексного числа.

Если , то корень n-й степени из данного числа определяется формулой

и имеет точно nразличных значении.

Пример. Даны комплексные числа и . Вычислить модули их произведения и частного.

Решение:

Так как , то вычислим отдельно и :

.

Тогда

Так как

Ответ:

Пример. Найти модули и главные значения аргументов следующих чисел:

а) -1; б) -2 + 2i; в) -2 - 2i.

Решение:

а) Изобразим число -1 в полярной системе координат.

Следовательно, |-1| =1 =r, arg (-1) = π.

б) r = -2 + 2i.

Р ешение:

Здесь х = -2, у = 2, значит,

Следовательно,

в) z = -2 - 2i.

Решение:

.

Ответ: а) 1 и π; б) и ; в) и

Пример. Найти модуль и аргумент числа

Решение.

Так как , то Вычислим

тогда

Если , то .

Поэтому .

Ответ: 1 и .

Пример. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

a) ; б) ; в) ; г) ; д) , взяв для аргумента главное значение.

Решение:

а) Для числа имеем , и для всех действительных положительных чисел argz = 0, следовательно, и . Таким образом

Изобразим в виде вектора

О чевидно,

б) Для числа имеем ,

Геометрически:

Для всех чисто мнимых чисел с положительной мнимой частью , следовательно, и

Таким образом,

в) Для числа имеем , а так как по формулам (3) то для аргумент (точка принадлежит второму квадранту). Таким образом,

г) Для числа имеем .

Для всех действительных отрицательных чисел arg = π,следовательно, и .

Таким образом,

.

Геометрически:

д) Для числа будет . Для всех чисто мнимых чисел с отрицательной мнимой частью , а потому и .

Следовательно,

Ответ: a)

б)

в)

г)

д)