Неопределенные линейные алгебраические системы

Если система имеет бесконечное множество решений,то все их перечислить невозможно. В этом случаестроится общее решение системы.

Определение. Общим решением неопределенной системы называется такая система, эквивалентная исходной, в которой часть неизвестных, называемых зависимыми, выражена через остальные неизвестные, называемые независимыми.

Опишем способ нахождения общего решения системы, предполагая, что ее матрица уже приведена к ступенчатому виду.

Пусть дана система .

1) Сначала надо выделить неизвестные, которые будут зависимыми (остальные будут независимыми); для этого надо, обведя нули, нарисовать «лесенку», иллюстрирующую ступенчатый вид матрицы. Под теми столбцами, где начинаются «ступеньки» этой «лесенки» подписать неизвестные, соответствующие этим столбцам, и рядом написать букву «з». В данном примере это будет выглядеть так:

Выписанные неизвестные и будут считатьсязависимыми.

2) Затем с помощью элементарных преобразований надо добиться, чтобы в столбцах, соответствующих зависимым неизвестным, осталось лишь одно ненулевое число. Делать это целесообразно двигаясь снизу вверх и справа налево. В данном примере получим таким образом матрицу

3) Теперь надо систему из матричной формы записи перевести в обычную форму:

4) Выражая в каждом уравнении зависимую неизвестную, получаем общее решение системы:

5) Теперь, придавая независимым неизвестным произвольные значения и вычисляя зависимые, можно найти Частное решение системы и сделать проверку.

В этом примере положим , тогда

Проверка:

Замечание. Количество зависимых неизвестных должно равняться рангу матрицы.

Пример. Исследовать и решить систему

.

Решение:

. Система совместна инеопределенна

или отсюда находим общее решение системы.

Пусть , тогда . Следовательно, - частное решение системы.

Будем теперь обозначать независимые неизвестные - произвольные постоянные. Тогда общее решение системы будет иметь вид

Ответ:

Пример. Исследовать и решить систему (СЛАУ)

.

Решение:

r(A) = r(A | b) = 1, n = 3, r(A) <n. Следовательно, система совместна неопределенна.

Положим тогда и - частное решение системы. Обозначим , где – произвольныедействительные постоянные. Тогда общее решение системы будет иметь вид

.

Ответ: - общее решение системы, - произвольные действительные постоянные, - частное решение системы.

Однородные линейные алгебраические системы

Определение. Однородные линейные алгебраические системы составлены из уравнений, у которых правые части равны нулю:

(*)

- матрица системы

- матрица-столбец неизвестных,

Тогда матричная форма записи системы будет:

АХ = 0.

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение или X = 0. Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т. е. чтобы r = r(A) <n (при m = n это условие означает, что det А= 0).

Определение. Пусть - множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Qсостоит из n – r . Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов называется фундаментальной системой решений.

Общее решение однородной системы имеет вид:

, где - произвольные постоянные.

Базисные решения могут бытьполучены с помощью элементарных преобразований матрицысистемы приведением ее к ступенчатому виду, если независимым неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными нулю. Если задана неоднородная система АХ = b, то ее общее решение может бытьнайдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы АХ = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы.

Пример. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.

Решение:

Общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему решений.

Так как r(А) = 2, n = 4, то независимых неизвестных будет n - r = 2, т. е. фундаментальная система будет состоять из двух векторов.

	1	0
	0	1	1	0

Таким образом, - образуют фундаментальную систему решений. Общее решение системы есть .

Ответ: векторы образуют фундаментальную систему решений, общее решение системы будет - произвольные постоянные,

.

Пример. Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы

Решение:

.

E	5	3	1

Пространство решений данной системы одномерно и вектор образует его базис.

Ответ: общее решение системы есть , где образует базис пространства решений системы, - произвольная постоянная.