Ранг матрицы
Определение. Пусть в матрице размера выбраны произвольно k строк и k столбцов (k <min (m, n)). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка к, определитель которой называется минором k-гo порядка матрицы А.
Определение. Максимальный порядок r отличныхот нуля миноров матрицы А называется ее рангом.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
1) перестановка местами двух строк;
2) поэлементное умножение строки на не равное нулю число;
3) поэлементное прибавление одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число λ;
4) вычеркивание нулевой строки.
Матрица имеет ступенчатый вид, если в каждой ее строке стоит нулей больше, чем в предыдущей. При этом учитываются лишь нули, стоящие в начале строки до первого ненулевого числа.
Теорема1. Любую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.
Теорема 2. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк матрицы после приведения ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.
Пример.
Вычислить ранг матрицы 
Решение: Применяя элементарные преобразования строк матрицы, будем обозначать: -1 ∙ (2) - умножить вторую строку на (-1); (2) – 2(1) - вычтем из второй строки первую, умноженную на (2); (2) <=>(5) - поменять строки вторую и пятую местами.
r(A)
= 2
Ответ: r(А) = 2.
Пример. Вычислить ранг матрицы
Решение:
Ответ: r(А) = 2.
Пример. Вычислить ранг матрицы
Решение:
r(A) = 3
Ответ: r(А) = 3.
1.2. Определители
Определение. Матрицей размера 2x2 называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из 2строк и 2 столбцов. Обозначается
Числа, составляющие эту матрицу, называются ее элементами и обозначаются буквой с двумя индексами.Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, в которых стоит данное число.
Определение
2. Определителем (или детерминантом)
второго порядка, соответствующим данной
матрице, называется число
.
Определитель обозначают символом
По
определению, 
Числа
называются
элементамиопределителя.
Свойства определителя второго порядка
1) Определитель не изменится, если все его строкизаменить (транспортировать) соответствующими столбцами (равномерность строк и столбцов).
2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный.
3) Если элементы одной строки (столбца) умножить на одно и то же число λ, то новый определитель увеличится в λ раз.
4) Если к одной строке (столбцу) поэлементно прибавить другую строку (столбец), то новый определитель совпадает с исходным (не изменится).
Определение 3. Аналогично, если
– квадратная матрица размера 3x3 (3 строки,
3 столбца), то соответствующим ей
определителем третьего порядка называется
число, которое вычисляется следующим
образом
Числа
называются элементами определителя.
Формула дает разложение определителя
третьего порядка по элементам первой
строки и сводит вычисление определителя
третьего порядка к вычислению определителей
второго порядка.
Определение.
Назовем минором, соответствующим данному
элементу определителя третьего порядка,
определитель второго порядка, полученный
из данного определителя вычеркиванием
строки и столбца, на пересечении которых
стоит данный элемент. Миноры будем
обозначать заглавной буквой М с двумя
индексами. Так, например, минор 
,
соответствующий элементу 
,
есть определитель 
.
Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка. Аналогично формуле, дающей разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.
Определение. Назовем алгебраическим дополнением элемента определителя его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если эта сумма нечетна.
Алгебраическое
дополнение элемента 
обозначается через 
.
Здесь i означает номер строки, а k–
номерстолбца, на пересечении которых
находится данный элемент.
Например,
и
т. д.
Обозначим определитель через ∆, тогда получимследующие верные равенства:
,
,
.
Это есть разложения определителя третьего порядка поэлементам строк.
,
,
.
Это есть разложения определителя третьего порядка по элементам столбцов.
Пример. Вычислить определители:
а)
.
Ответ: 5.
б)
Ответ: 1.
в)
Ответ: 4ab.
г)
Второй способ. Воспользуемся свойствомопределителя и к первой строке прибавим третью, получим определитель третьего порядка и разложение по элементам первой строки:
Ответ: 1.
д)
Ответ:
.
е)
Ответ:
.
ж)
Решение:
Воспользуемся свойствами определителя. Из второй третьей, четвертой строки вычтем первую строку, полу чим определитель и разложение его по элементам 1-го столбца:
Ответ: 1.
з)
Решение:
Из второй строки определителя вычтем первую строку, умноженную на 2; из третьей строки вычтем утроенную первую строку, из четвертой - вычтем первую строку, умноженную на 4. Получим нули в первом столбце. Тогда и разложим определитель по элементам первого столбца:
Ответ: 304.