Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение гиперболы в декартовой прямоугольной системекоординат имеет вид

.

Расстояние между фокусами равно 2с (с > а).

Форма кривой имеет вид:

- фокусыгиперболы, .

Величины а и b - полуоси гиперболы.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы, ось Ох называется действительной осью, ось Оу– мнимойосью гиперболы, О(0; 0) - центр симметрии гиперболы.

Точки являются вершинами гиперболы.

Прямые являются асимптотами гиперболы.

Число является эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола называется сопряженной с гиперболой

Уравнение касательной в точке к гиперболе дается уравнением

Пример. Написать каноническое уравнение гиперболы, нроходящей через точку М(8√5;12), если фокальное расстояние гиперболы равно 20.

Решение:

По условию 2с = 20, или с = 10. Запишем каноническое уравнение гиперболы:

По условию точка М(8√5; 12) принадлежит гиперболе, следовательно, .

Второе уравнение для определения даетсоотношение .

Решив систему уравнений относительно

, найдем . Искомым уравнением будет уравнение .

Ответ: .

Пример. Доказать, что уравнение является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

Решение:

Разделив обе части уравнения на 903, получим:

Это уравнение гиперболы, для которой . Из соотношения находим и с = 8 (с > 0). Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках .

Ответ: .

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен .

Решение:По условию 2с = 26 и . Следовательно, большая полуось гиперболы . Поформуле находим малую полуось гиперболы . Уравнение гиперболы имеет следующий вид:

Ответ:

Пример. Эксцентриситет гиперболы равен √2.Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М(√3; √2).

Решение:

Известно, , или . Но , следовательно, , т. е. гипербола равнобочная.

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т. е.

, или

Поскольку , получим , т.е. .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы

Ответ: .

Парабола

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы имеет вид

Определение. Числоp называется параметромпараболы. Начало координат О(0; 0) - ее вершина, а ось Ох -ось симметрии параболы.

Точка - фокус параболы, прямая - директриса параболы.

Уравнение касательной к параболе в точке имеет вид .

Пример. Дана парабола . Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.

Решение:

Сравнивая данное уравнение с каноническимуравнением параболы, видим, что 2р = 6,р = 3. Так как уравнение директрисы имеет уравнение , а фокус - координаты и 0, то для рассматриваемого случаяполучим уравнение директрисы и фокус .

Ответ:

Пример. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Решение:

Так как известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно, известны координаты конца этой хорды - точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид ; полагая в нем х = 6, у = 8, находим , откуда . Итак, уравнение искомой параболы .

Ответ: .

Пример. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);

2) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1).

Решение:

1) Так как точка А(9; 6) лежит на параболе , еекоординаты должны удовлетворять уравнению параболы, а потому имеем , или 2р = 4. Следовательно, искомое уравнение параболы имеет вид .

Ответ: .

2) Так как парабола симметрична относительно оси Оу, то ее уравнение . Точка С(1; 1) лежит наданной параболе, значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , или 2р = +1.

Следовательно, уравнение искомой параболы

Ответ: .

Пример. Дана парабола . Найти точки параболы, расстояние от которых до фокуса равно 1.

Решение:

Так как 2р = 3, то и фокус параболы находится в точке . Пусть М(х; у) - искомая точка, принадлежащая параболе. Так как по условию расстояние от этой точки до фокуса равно единице, то для нахождения координат х и у нужно решить систему уравнений

.

Решая эту систему уравнений, получаем:

.

Таким образом,существуют две точки, расстояние от которых до фокуса равно 1: .

Ответ: .