Задания для самостоятельного решения
1.
Составить уравнение плоскости, которая
проходит через точку 
и имеет нормальный вектор
= (5; 0; -3).
2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор = (5; 0; -3).
3. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
4
Написать уравнение плоскости, которая
проходитчерез точку
,
параллельно векторам
и
,
если:
а)
,
= (0; 1; 2),
= (-1; 0; 1);
б)
,
= (2; 0; 1),
=
(1; 1; 0).
5. Написать уравнение плоскости проходящей через точки и параллельно вектору , если:
а)
,
,
;
б)
,
,
= (0; -1; 2).
6.
Написать уравнение плоскости, проходящей
черезтри заданные точки 
и 
,
если:
а)
,
,
;
б)
,
,
.
7. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
а) 2х - 3y-5z-7 = 0, б) 4х + 2у - 4z + 5 = 0,
2х - 2у + 5z + 3 = 0; 2x + y + 2z-l = 0;
в)x-3z + 2 = 0,
2x-6z-7 = 0.
8. Установить, какие из следующих пар уравненийопределяют перпендикулярные плоскости:
а) Зх - у - 2z - 7 = 0, б) 2х + Зу - z - 3 - 0,
x + 9y-3z + 2 = 0; x-y-z + 5 = 0;
в) 2х - bz + z = 0,
х + 2z - 3 = 0.
9.
Составить уравнение плоскости, которая
проходит через точку
параллельно плоскости 2х - 32 + 5 = 0.
4.3. Прямая и плоскость в пространстве
1)
– канонические уравнения прямой,
проходящей через точку
параллельнонаправляющему
вектору 
;
2)
– уравнение
прямой, проходящейчерез две данные
точки
и
;
3
)
уравнения 
есть параметрические уравнения прямой
в пространстве.
4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями
За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами
или в координатной форме
5)
-
условие перпендикулярности двух прямых
и
.
6)
-
условие параллельности двух прямых
и
в
пространстве.
7) Общие уравнения прямой в пространстве
где
коэффициенты 
не
пропорциональны коэффициентам 
.
В данном случае прямая задана как линия
пересечения плоскостей.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:
,
.
Решение:
О
бозначим
точки, через которые проходят прямые
и
– 
.
Им соответствует вектор 
.
Возьмем на искомой плоскости точку М(х;
у; z)
с текущимикоординатами, получим
вектор
.
Таким образом, три вектора
,
и направляющий вектор прямой
= (3; 2; -2) компланарны. По условию
компланарности трех векторов имеем
или
6x
- 20у – 11z+
1 =0.
Ответ: 6x - 20у – 11z+ 1 =0.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно
плоскости
х + 19у - 7z - 11 = 0, = (1; 19; -7).
Решение.
= (5; -1; - 2), = (3; - 2; - 5). Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:
=
5 + (-1I9 + (-2)(-7) =0,
=
3 - 38 + 35 = 0.
Следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.
Ответ:
=0.
Пример.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку 
параллельно прямым
Р
ешение:
Отложим
в искомойплоскости точки
,
М(х; у; z)
и векторы 
,
.
Тогда три вектора
,
и
будут
компланарны. По условию компланарности
трех векторов будем иметь:
,
т.е. 
Ответ:
.
Пример.
Составить параметрические уравнения
прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
Р
ешение:
Возьмем на искомой прямой точку М(х; у; z) с текущими координатами, тогда векторы и будут коллинеарны, т. е.
Отсюда получаем х = 2t + 1, y = 4t - 1, z = -3.
Ответ: х = 2t + 1, у = 4t - 1, z = -3.
Пример.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку 
и прямую х = 2t + 1, у = -3t +2, z = 2t-3.
Р
ешение:
По
уравнениям данной прямой находим точку
прямой 
и
направляющий векторпрямой
= (2; -3; 2). Получаем три вектора,отложенные
в искомой плоскости:
= (2; -3; 2)
По условию компланарности трех векторов имеем:
т.е.
.
Ответ: .
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно
кплоскости Зх + 2у - z
- 5 = 0.
Решение:
Т
ри
вектора 
компланарны только тогда, когда
,
т. е.
.
Ответ:
.
П
ример.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку 
перпендикулярно прямой
Решение:
Так
как искомая плоскость перпендикулярна
прямой, заданной общими уравнениями,
то нормальные векторы данных плоскостей
можно отложить вместе с вектором 
в
одной плоскости. Следовательно, векторы
;
компланарны. По условию компланарности
трех векторов имеем:
,
т.е.
Ответ:
.
Пример.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки 
и 
параллельно прямой
Решение:
В
озьмем
на искомойплоскости точку с текущими
координатами, получим вектор
Векторы , и компланарны. По условию компланарности трех векторов = (2; 3; 2), = (3; 2; -1), = (х -4; у - 1; z+ 1) имеем:
Ответ:
Пример.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из точки 
на плоскость Зx
+ у + 2z - 11 = 0.
Решение.
Нормальный вектор = (3; 1; 2) данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку .
Ее уравнение
Ответ:
Пример.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из точки 
на прямую
.
Решение.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данную точку
перпендикулярно данной прямой (или
перпендикулярно вектору 
=
(2; 4; 1) - направляющему вектору прямой):
2 • (х - 3) + 4 • (у - 2) + 1 • (z - 1) = 0 или
2х + 4у + z- 15 = 0.
2)
Составим уравнение плоскости, проходящей
через данную точку и данную прямую. На
данной прямой возьмем точку 
.
Тогда надо найти вторую плоскость,
проходящую через точки
и
,и
параллельную направляющему вектору
данной прямой
=
(2; 4; 1).
Имеем
.
Следовательно, уравнение второй плоскости
Найденные плоскости пересекаются по прямой l,которая проходит через данную точку и перпендикулярнаданной прямой, поэтому уравнения
будут
уравнениями прямойl
- искомого перпендикуляра.
Ответ:
Пример.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку 
и параллельной прямой
Решение:
Найдем
направляющий вектор прямой 
,
Тогда
уравнение искомой прямой есть 
Ответ:
Пример. Найти прямую,проходящую через точку иперпендикулярную к прямым
и
.
Решение:
Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.
Т
огда
уравнение искомого перпендикуляра
будет:
Ответ:
Пример. Заданы плоскость
Р:
х + у - z
+ 1 = 0 и прямая
,
причем 
.
Требуется найти:
а) угол между прямой и плоскостью;
б) координаты точек пересечения прямой и плоскости.
Решение:
.
б) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
,
или параметрически
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1 + 2t - t + 1 + 1 = 0; t = -3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х = 1, у = -6, z = -4.
Ответ:
a) 
,
б)(1;-6;-4).
Пример . Найдем расстояние точки М(2; -1; 3) от прямой
Решение:
найдем
Ответ:
.