Задания для самостоятельного решения
1.
Определить модули суммы и разности
векторов
и
.
2.
Вычислить направляющие косинусы
вектора
.
3.
Дан модуль вектора 
и углы α = 45°, β = 60°,γ
= 120°. Вычислить проекции вектора
на координатныеоси.
4.
Найти вектор
,
образующий с ортом
угол
60°, а сортом 
– угол 120°, если
.
3.4 Скалярное произведение векторов
Рассмотрим
следующую задачу. Материальная точка
массой 1 под действием постоянной по
величине и направлению силы F переместилась
вдоль прямой из точки Р в точку Q. Какая
при этом совершилась работа? Как известно
из курса физики, работа равна произведению
силы на перемещение и на косинус угла
между направлениями силы и перемещения.
Применяя векторные обозначения, можно
записать: 
,
где A
– совершенная работа.
Определение.
Скалярным произведением двух ненулевых
векторов
и
называется число, равное
.
Если
хотя бы один из векторов
и
равен нулю, то их скалярное произведение
принимают равным нулю. Скалярное
произведение векторов
и
обозначают 
или 
.
Итак,
,
где φ - угол между векторами и .
Скалярное
произведение векторов
и
можно выразить также формулой 
или 
.
Здесь 
– проекция вектора
на ось вектора
.
Из
определения следует, что
,
если φ – острыйугол; 
,
если угол φ - тупой; 
в
том случае, когда векторы
и
перпендикулярны
(ортогональны), 
или 
.
Отметим
еще факт. Скалярное произведение
и
вектора
на себя называют скалярным квадратом
вектора
и
обозначают
.
Так как в этом случае угол φ = 0, то
,
т.
е. скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины. Отсюда следует, что
.
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное умножение коммутативно, т. е. для любых векторов и справедливо равенство
.
2.
,
–
ненулевой вектор, и
,
если
– нулевой вектор.
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нуль-вектору.
4.
Если векторы
и
заданы своими координатами в ортогональном
базисе
:
,
,
то их скалярное произведение может быть
вычислено по формуле
.
Отсюда следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:
.
5. Для любых векторов , , справедливо равенство
(дистрибутивность
операциисложения относительно операции
умножения векторов).
6. Для любых векторов и и любого числа kсправедливо равенство
.
(Ассоциативность по отношению к умножениювектора на число.)
7. Пусть и – два ненулевых вектора, φ– уголмежду ними. Из определения скалярного произведения следует:
,
или в координатах,
.
8.
Пусть в пространстве дана некоторая
ось l,единичный
вектор
,
который составляет с координатными
осями углы α, β,
γ.
Тогда проекцияпроизвольного вектора
на
эту ось определяется формулой
.
Пример.
Найти проекцию вектора 
на ось l,
образующую
с координатными осями равные острые
углы.
Решение:
Направляющие
косинусы оси l
таковы: 
.
Следовательно,
.
Ответ:
.
Пример.
Даны векторы
,
.Найти
.
Решение:
Так
как 
,
.
Ответ:
Пример.
Дано: 
,
,
.
Вычислить:
a) 
;
б) 
;в)
.
Решение:
а)
;
б)
в)
.
Ответ: а) 9; б) –61; в) 13.
Пример.
Дано:
,
.
Определить, при какомзначении αвекторы
и 
будут
перпендикулярны.
Решение:
(условие
отрогональности векторов).
Следовательно
,
,
;
.
Ответ:
.
Пример.
Вычислить, какую работу производит сила
,когда
ее точка приложенияперемещается из
начала в конец вектора
.
Решение:
.
Ответ: А =17.
Пример. Даны вершины треугольникаА(–1;–2; 4), В(–4;–2;0),C(3;–2; 1).
О
пределить
его внутренний угол при вершине В.
Решение:
Внутренний
угол при вершине В – это угол между
векторами 
и
.
Обозначим его через φ.
,
,
и
,
,
тогда
;
;
.
Ответ: 45°.
Пример.
Даны две точки М(–5; 7; –6), N(7;
–9; 9).Вычислить проекцию вектора 
на
вектор
.
Решение:
Воспользуемся
формулой 
.
Найдем
,
и
.
Ответ: 3.
Пример.
Вычислить координаты вектора, длина
которого равна 8, зная, что он образует
с осью Ох угол 
,с
осью Oz – угол 
,
а с осью Оу – острый угол.
Решение:
;
.
Так
как β – острый угол, 
.
(
,
,
).
Ответ: {4 √2, 4, 4}.