Линейная зависимость. Понятие базиса
Определение.
Векторы 
называют линейно зависимыми, если
существуют числа 
,
среди которых есть по крайней мере одно,
не равное нулю, такое, что 
.
(***)
Это определение линейной зависимости векторов эквивалентно такому: векторы линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).
Векторы
называются линейно зависимыми, если
равенство (***)возможно в единственном
случае, когда 
.
Понятие линейной зависимости играет большую роль в линейной алгебре. В векторной алгебре линейная зависимость имеет простой геометрический смысл.
1). Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.
2). Три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.
3). Каждые четыре вектора линейно зависимы.
Определение.
Три линейно независимых вектора 
называются базисом пространства, т.е.
любой вектор
может
быть представлен в виде некоторой
линейной комбинации векторов
.
Определение.
Два лежащих в плоскости линейно
независимых вектора 
называются
базисом плоскости, т.е. любой лежащий в
этой плоскости вектор
может быть представлен в виде некоторой
линейной комбинации векторов
.
Пример.
Разложить вектор 
по трем неколлинеарным векторам
,
,
.
Решение:
а) Покажем, что векторы неколлинеарны. В этом случае тройки коэффициентов их линейных комбинаций должны быть линейно независимы, т.е. определитель, составленный из коэффициентов линейных комбинаций, должен быть не равен нулю:
.
(Определитель вычислен разложением по элементам первого столбца).
б) Решим систему уравнений относительно :
Вычитая
из первого уравнения второе, получим
систему двух уравнений относительно
:
Вычтем из второго уравнения первое.
Отсюда
,
,
и
.
Ответ:
в
базисе 
.
Пример.
Даны три вектора 
,
,
.
Найти числа α, β такие, что 
.
Решение: Линейной комбинации векторов соответствуют такие же линейные комбинации их одноименных координат, т.е.
,
или 
Получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных α, β.
.
Итак, действительно векторы линейно зависимы.
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Даны три вектора 
,
,
.
Найти разложение вектора 
по базису
.
2.
Даны векторы 
и 
.
Вектор 
– медиана треугольника ОАВ.
Разложить вектор
по базису
.
3.
В тетраэдре OABCточки
K,
L,
M,
N,
P,
Q
– середины
ребер OA,
OB,
OC,
AB,
AC,
BCсоответственно,
S
– точка пересечения медиан треугольника
ABC.
Принимая за базисные векторы 
,
найти в этом базисе координаты:
векторов
;векторов
;векторов
.
4.
Точки MиN
– середина сторон BCиCD
параллелограмма ABCD.
Разложить вектор 
по векторам 
и 
.
3.3 Прямоугольная декартова система координат
Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная декартова система координат.
Определение.
Декартова система координат 
на
плоскости называется прямоугольной,
если
– ортогональные единичные векторы.
Аналогично
определяется прямоугольная декартова
система координат 
в
пространстве; в этом случае векторы
также
являются взаимно перпендикулярными и
единичными. Базисные векторы 
прямоугольной декартовой системы
координат на плоскости обозначают
обычно 
,
базисные векторы
прямоугольной декартовой системы
координат обозначают 
.
Соответственно разложение радиус-вектора
по базису записывают в виде
(для плоскости);
(для пространства).
В первом случае точка M имеет координаты x, y, во втором случае – координаты x, y, z.
Определение.
Проекцией вектора
на единичныйвектор 
называется число
,
где 
–
угол между векторами
и
(0≤φ≤π).
Координаты
x,
y,
z
вектора
,
полученные как коэффициенты линейной
комбинации базисных векторов, в
прямоугольном базисе совпадают с
проекцией вектора
на базисные орты
соответственно, а длина вектора
равна
.
Определение.Числа
,
,
называются
направляющими косинусами вектора
.
Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами(проекциями)
его
орта
и между собой связаны соотношением
.
Пример.
Заданы векторы
,
,
.
Найти:
а) координаты вектора ;
б)
координаты вектора
;
в)
разложение вектора
по
базису
;
г)
.
Решение:
а) Так как , то найдем сначала длину вектора по формуле :
.
Тогда
.
б) Вычислим координаты вектора
.
в)
г)
;
;
.
Ответ:
а) 
;б)
=(
);
в) ;г)
Замечание.
Если известны координаты точек
и
,
то проекцииX,
Y,
Z
на оси координат вектора
могут
быть получены по формулам
,
,
Z
,
а расстояние d
междуданными точками определяется
формулой:
,
или
.
Если
точка
лежит
на прямой, проходящейчерез две данные
точки
и
и
даноотношение
,
в котором точкаМ
делит отрезок
,
то координаты точкиM
определяются поформулам:
,
,
z
.
Пример.
Дано разложение вектора
по базису
:
.
Определить разложение по этомуже базису
вектора
,
параллельному вектору
ипротивоположного с ним направления,
при условии, что
.
Решение.
Так как векторы
и
по условиюколлинеарны, то они удовлетворяют
условию:
.
Поусловию
,
из равенства
;
;
.
Окончательно, 𝜆
= –3.
Ответ:
.
Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора
,
если 
,
,
.
Решение: Найдем разложение вектора по базису :
.
Найдем
длину вектора
:
.
Тогда орт вектора
– вектор 
.
Известно, что координаты орта вектора
есть его направляющие косинусы.
Следовательно,
,
,
Ответ:
,
,
,
Пример.
Вектор составляет с осями Ox
и Ozуглы
и 
.Какой
угол он составляет с осью Oy?
Решение: Так как направляющие косинусы вектора
удовлетворяют равенству , то
,
,
,
,
.
Отсюда
или 
.
Ответ: 60° или 120°.
Пример. Определить, при каких значениях α, βколлинеарнывекторы
и
.
Решение: Из условия коллинеарности двух векторовследуют равенства:
.
Тогда
.
Ответ:
.
Пример.
Найти вектор 
,
коллинеарный вектору 
,
образующий с ортом 
острый угол иимеющий длину 
.
Решение:По
условию
коллинеарен
,
следовательно, 
и
.
Пусть
,
тогда 
и
чтобы выполнялось условие у > 0,
надоположить 𝜆<
0. Кроме того,
.
По условию
,
следовательно, 
.
Искомый вектор есть
.
Ответ: .
Пример. Отрезок AB, где A(7; 1), B(4; –5) разделен натри равные части. Найти координаты точек деления.
Решение:
Формулы (*) в координатной форме имеют
вид:
,
,
.Пусть
Р – точкаделения, ближайшая к А. Тогда
,
и координаты точки Р таковы: 
;
P (6; -1).
Для
второй точки деления Q имеем 
;
следовательно,
,
.
Q
(5; –3). Таким образом, точки деления P
(6; -1), Q
(5; –3).
Ответ: P (6; -1), Q (5; –3).