Задание для самостоятельной работы

Исследовать сходимость числовых рядов:

a) ; b)

c) d)

Ответы к заданию:

а)	Ряд расходится (использовать необходимый признак сходимости).	b)	Ряд расходится (использовать признак сравнения).
c)	Ряд расходится (использовать интегральный признак сходимости).	d)	Ряд сходится (использовать признак Даламбера).

2. Функциональные ряды

(См. (1), гл. ХΙ, §§ 2 – 5 и гл. ХΙΙ, §1).

Задача 8. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Пусть дан степенной ряд . Число есть радиус сходимости степенного ряда, если при ряд сходится, а при - расходится. Интервалом сходимости называют интервал . Известно, что радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле

Воспользовавшись этой формулой, вычислим радиус сходимости нашего степенного ряда

и

Итак, радиус сходимости Следовательно, интервалом сходимости нашего ряда будет

Задание для самостоятельной работы

Найти интервал сходимости степенных рядов:

Ответы к заданию:

Задача 9. Разложить функцию в ряд Фурье в указанных интервалах

Решение. Если функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле в некотором интервале , то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение

где

В нашем случае и = 0 при , поэтому

.

Аналогично

Итак, искомый ряд Фурье можно записать в следующем виде:

Задание для самостоятельной работы

Разложить функцию в ряд Фурье в указанных интервалах

Указание. Функция нечетна, поэтому все а_n=0. Вычислять b_n следует по формуле, приведенной выше.

Задача 10. Вычислить определенный интеграл

с точностью до 0,001.

Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать.

Решение. Разлагая функцию по степеням x, получим:

Так как шестой член меньше 0,001, то ограничимся пятью членами. Ошибка по модулю, согласно теореме Лейбница, не превышает первого из отбрасываемых членов (в нашем случае ряд знакопеременный с убывающими членами). Получаем

Задание для самостоятельной работы

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать:

		Ответ: 0,747,
		Ответ: 0,494.

Контрольная работа на тему: «Дифференциальные уравнения»

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .
	а) ;	б) .

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

_1.

_2.

_3.

_4.

_5.

_6.

_7.

_8.

_9.

_10.

Задание 4. Найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.