Задание для самостоятельной работы

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (систему под номером а.) решать методом исключения неизвестной функции; систему под номером b.) решать c помощью характеристического уравнения):

Ответы к заданию:

2. Ряды

1. Числовые ряды

Не останавливаясь на основных определениях теории рядов [1. Гл. XI, §1], приведем только их признаки сходимости:

а) интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами. Если , где - убывающая непрерывная функция, то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно ( -некоторое число, );

б) признак Даламбера. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

в) признак Коши. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . В случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

г) первый признак сравнения. Если (начиная с некоторого ), то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

д) второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды и сходятся или расходятся одновременно;

е) признак Лейбница. Ряд с чередующимися знаками сходится, если и .

Отметим еще необходимое условие сходимости ряда: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы .

Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим интегральный признак. Ясно, что функция будет непрерывной при и убывающей, при этом .

Рассмотрим интеграл

.

Так как этот интеграл сходится, то сходится и ряд.

Задача 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Очевидно, что

, ,

тогда

т.к , то ряд сходится.

Задача 3. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Для решения вопроса о сходимости этого ряда используем признак Коши

,

т.к. , то ряд сходится.

Задача 4. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. = = =

т.к. , то ряд расходится.

Этот же вывод можно сделать, исследуя общий член этого ряда c помощью правила Лопиталя легко выяснить, что он не стремится к нулю при , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда;

Задача 5. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Легко видеть, что для этого ряда , т.е. признак Даламбера не дает ответа на вопрос о его сходимости. Воспользуемся первым признаком сравнения. Так как

и ряд сходится (см. сходимость обобщенного гармонического ряда ), то и наш ряд сходится.

Можно было бы воспользоваться вторым признаком сравнения. Сравним наш ряд с тем же рядом . Так как = =1

то из сходимости ряда следует сходимость нашего ряда;

Задача 6. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Очевидно, что члены этого ряда удовлетворяют всем условиям признака Лейбница. То есть, ряд сходится.

Задача 7. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Общий член этого ряда и, значит, не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.