Задание для самостоятельной работы
Найти общее решение дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных:
|
|
|
|
Ответы к заданию:
a)
Указания.
Общее
решение однородного уравнения
Поэтому
Решение неоднородного уравнения следует искать в виде
где
,
и
функции, удовлетворяющие системе
уравнений
Решать эту систему лучше, пользуясь правилом Крамера.
b)
Задача
13. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
.
Решение. Прежде чем решать эту задачу, необходимо очень тщательно изучить решение задачи 12.
Найдем сначала общее решение нашего уравнения.
Соответствующее
однородное уравнение
,
а его характеристическое уравнение
.
Имеем
,
.
Общее решение однородного уравнения
.
Поэтому общее решение неоднородного
уравнения будем искать в виде
,
где
и
удовлетворяют следующей системе
уравнений:
Подставляя
значение
в первое уравнение системы, получим
.
Следовательно,
,
Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, подобрав соответствующие константы А и В:
;
.
По условию
Отсюда следует, что искомое частное решение имеет вид
.
1.4 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Мы приведем два способа решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Первый способ называют методом исключения неизвестной функции. Второй способ основан на использовании собственных чисел и собственных векторов матрицы.
а) Сначала на примере продемонстрируем метод исключения неизвестной функции (и её производной), при этом система сводится к одному уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией.
Задача
14. Найти
общее решение системы линейных
дифференциальных уравнений:
Решение. Продифференцируем второе уравнение этой системы:
Составляем новую систему дифференциальных уравнений:
Исключив из последней системы, получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
.
Соответствующее
характеристическое уравнение
имеет комплексные корни:
Следовательно,
где
и
произвольные
постоянные. Из последнего уравнения
исходной системы
Итак, общее решение системы:
B) Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
можно и методами линейной алгебры, используя характеристическое уравнение.
Найдем корни характеристического уравнения
или
Мы
рассмотрим только случай, когда
характеристическое уравнение имеет
различные действительные корни
и
В этом
случае каждому корню соответствует
некоторый собственный вектор. Так, корню
соответствует
вектор
найденный
из системы уравнений
или
а
корню
соответствует вектор
определяемый системой
или
Зная векторы и легко выписывается общее решение системы
Задача 15. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений:
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
или
Найдем
собственный вектор, соответствующий
собственному
значению
или
Положим
для определенности
тогда
Итак, собственному значению
соответствует собственный вектор(1,3).
Аналогично для
или
Положим
для определенности
тогда
Итак, собственному значению
соответствует собственный вектор
(1,-1).
Выписываем теперь общее решение системы:
Окончательно: