Задание для самостоятельной работы
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
|
|
|
|
|
|
Ответы к заданию:
|
|
|
|
|
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее
решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения
можно записать в виде
где
- общее решение соответствующего
однородного дифференциального уравнения,
а Y
- частное решение данного неоднородного
уравнения.
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:
1)
, где
многочлен
степени
.
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение ищут в
виде
,
где
многочлен степени
с неизвестными коэффициентами.
Если - корень характеристического уравнения кратности
,
то
.
2)
Если
не
является корнем характеристического
уравнения, то полагают
,
где
многочлены
степени
.
Если
корни
характеристического уравнения кратности
(для уравнений второго порядка
),
то полагают
.
Функцию,
находящуюся в правой части линейного
неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами,
имеющую вид
принято называть специальной правой частью.
Задача 9. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Найдем
общее решение
однородного
дифференциального уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Следовательно,
.
Правая
часть уравнения равна
.
Следовательно,
,
и поскольку
не является корнем характеристического
уравнения, то
.
Поэтому частное решение ищем в виде
.
Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим
Сокращая
на
и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
левой и правой частей последнего
равенства, находим:
Отсюда
.
Значит, общее решение данного уравнения
имеет вид
.
Задача
10. Найти
общее решение уравнения
.
Решениe.
Найдем общее решение
однородного дифференциального уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
(кратность корня
).
Следовательно,
.
Правая
часть уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Так как
совпадает с корнем
кратности
,
то частное решение ищем в виде
.
Дифференцируя
Y
два раза, подставляя в уравнение и
приравнивая коэффициенты, получим:
.
Общее решение данного уравнения имеет вид
Задача
11.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение.
Найдем
общее решение
однородного дифференциального
уравнения:
.
Составим
характеристическое уравнение
,
его корни
Тогда общее
решение однородного уравнения будет
иметь вид
Правая
часть неоднородного дифференциального
уравнения в общем виде имеет вид:
.
Правая
часть данного уравнения, т.е.
получается
приа=0, b=1,
что соответствует числу
которое
является корнем характеристического
уравнения кратности один (
),
поэтому частное решение уравнения нужно
искать в виде
.
Дифференцируя
это выражение два раза и подставляя в
данное уравнение найденные значения
приравниваем коэффициенты в обеих
частях равенства при
В результате получаем систему уравнений:
Решив
эту систему уравнений, получим
.
Следовательно,
.
Итак,
общее решение неоднородного уравнения
будет иметь вид
.
Чтобы учесть начальные условия, найдем :
Учитывая,
что при
выполняются равенства
и
,
находим
.
Таким
образом, искомое частное решение
исходного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям, имеет вид:
.
Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений можно использовать также метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Если
и
линейно независимые частные решения
уравнения
,
то решение неоднородного уравнения
находится
в виде:
где
и
функции от
,
удовлетворяющие системе уравнений:
Задача
12. Найти
решение дифференциального уравнения:
.
Решение.
Решим сначала однородное уравнение
,
для чего составим характеристическое
уравнение
.
Ясно, что
.
Итак, получим общее решение однородного
уравнения
.
Отсюда,
Будем
теперь искать общее решение нашего
неоднородного уравнения в виде
,
где
,
и
функции, удовлетворяющие указанной
выше системе линейных уравнений.
Составим и решим эту систему с учетом наших данных:
где
А –
произвольная константа.
Подставляя
значение
в первое уравнение последней системы,
получим
.
Итак, общее решение нашего уравнения
