Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Указать тип уравнений:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Ответы к заданию 1:

а) однородное; b) линейное; c) с разделяющимися переменными; d) однородное; e) уравнение Бернулли; f) линейное; g) линейное относительно х (у). Указание. Уравнение преобразовать в следующей последовательности:

и считать у независимой переменной, а х – зависимой;

h) уравнение Бернулли; i) с разделяющимися переменными.

Задание 2. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы к заданию 2:

а) (уравнение с разделяющимися переменными);

b) (линейное уравнение);

c) (однородное уравнение);

d) (уравнение Бернулли);

e) (линейное относительно х(у)). Указание. Уравнение записать в виде

_{решение искать в виде}

1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1. Уравнение вида решается последовательным двукратным интегрированием;

2. Уравнение вида не зависит явно от у) сводится подстановкой , к следующему уравнению первого порядка:

3. Уравнение не зависит явно от x) приводится подстановкой

к виду: .

Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка: .

Решение. Так как уравнение не содержит x в явной форме, то делаем подстановку .

Тогда наше уравнение перепишется в виде . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно . Решим его:

;

;

;или .

Это также уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, находим:

Это равенство и дает нам общее решение задачи.

Задача 6. Найти общее решение уравнения: .

Решение. Уравнение не содержит у в явной форме, поэтому делаем замену . Тогда , и уравнение принимает вид .

Разделив переменные и интегрируя, будем иметь или, т.е. .

Отсюда интегрированием получим .

Задача 7. Найти общее решение уравнения:

Решение. Уравнение решается последовательным двукратным интегрированием:

Задание для самостоятельной работы

Найти общее решение уравнений:

Ответы к заданию:

1. (Указание. Полагая получим и, после подстановки, данное уравнение обращается в уравнение с разделяющимися переменными);

2. (Указание. Полагая получим и, после подстановки, данное уравнение обращается в уравнение с разделяющимися переменными).

1.3 Линейные однородные и неоднородные

дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами

1.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составляется соответствующее характеристическое уравнение: .

• Если корни и характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

.

• Если и действительны и равны между собой, т.е. , то общее решение запишется в виде .

• Если корни являются комплексными числами , , то общее решение представляется в виде

.

Задача 8. Найти общие решения уравнений:

Решение.

а) Составим соответствующее характеристическое уравнение и решим его: , Согласно сказанному выше, общее решение можно записать в виде .

b) Составляем характеристическое уравнение , .Отсюда .

c) Характеристическое уравнение имеет решение .

Следовательно,