5.2. Пример определения алгоритма работыцифрового регулятора положения для электропривода с астатизмом второго порядка

Пример 5.1. 1. Получить алгоритм работы цифрового регулятора положения для ЭП с астатизмом второго порядка. Числовые значения коэффициентов передаточной функции регулятора принять из примера 4.1 (см. программу 1).

2. Получить алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора, передаточная функция которого получена в результате аппроксимации ЛАЧХ (рис. 4.2) в примере 4.1. При решении задачи считать период квантования Т₀ = 0,001 с.

Решение. 1. Передаточную функцию регулятора положения, полученную с помощью программы 1 (пример 4.1), можно упростить с применением следующей программы:

>>num=[0.5405 80.31 5964 8679 0];

>>den=[0.07268 42.64 1258 0 0];

>>sys=tf(num, den);

>>minreal(sys)

Transfer function:

7.437 s^3 + 1105 s^2 + 8.206e004 s + 1.194e005

----------------------------------------------

s^3 + 586.7 s^2 + 1.731e004 s

Для определения передаточной функции цифрового регулятора положения W_рп(z) с применением формулы трапеций (bilinear) составим программу в MatLab:

>> num=[7.437 1105 8.206e004 1.194e005];

>> den=[ 1 586.7 1.731e004 0];

>> Fs=1000;

>>[numd, dend]=bilinear(num, den, Fs)

numd =

6.1726 -17.6029 16.7515 -5.3210

dend =

1.0000 -2.5345 2.0824 -0.5479

В приведенной программе, Fs означает частоту квантования обратно пропорциональную периоду квантования Т₀. В результате решения получим передаточную функцию цифрового регулятора положения.

Дискретная передаточная функция регулятора положения:

(5.1)

После преобразования будем иметь:

. (5.2)

Перепишем (5.2) в виде:

, (5.3)

где .

. (5.4)

Уравнения (5.3) и (5.4) реализуются в виде структурной схемы непосредственного программирования, которая изображена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Структурная схема непосредственного программирования цифрового регулятора положения электропривода с астатизмом второго порядка

По схеме программирования, представленной на рис. 5.1, находим уравнения состояния и выхода системы.

Уравнения состояния:

и уравнение выхода:

Векторно-матричная форма уравнений цифрового регулятора положения:

По ним определяем коэффициенты матриц А, B, C и D, соответственно:

(5.5)

2. Передаточная функция ПИД-регулятора положения синтезирована в примере 4.1 и записывается:

Передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора положения определим согласно программе:

>> num=[0.00417 0.721 2.4246];

>> den=[4.3725e-004 0.2915 0];

>> Fs=1000;

>>[numd, dend]=bilinear(num, den, Fs)

numd =

7.7720 -14.3031 6.5352

dend =

1. -1.5000 0.5000

Полученные значения коэффициентов позволяют записать передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора:

Для этого выражения удобно использовать метод непосредственного программирования и структурную схему программирования, изображенную на рис. 3.2, которой соответствуют уравнения (3.8) – (3.12).

По уравнениям состояния и выхода системы определяем коэффициенты матриц А, B, C, D:

(5.6)