4. Преобразование Фурье и вейвлет-преобразование

4.1.Прямое дискретное преобразование Фурье

Прямое и обратное преобразования Фурье аналогового сигнала определяются следующими соотношениями

Дискретный сигнал и последовательность дельта – функций. Длительность сигнала - T_c = T_Д N,

Воспользовавшись последовательностью - функций, представим дискретный сигнал x_n как аналоговый

Тогда

Зададимся шагом  изменения частоты  = k  , где k - целое число.

Учитывая, что T_Д = T_c / N , получим  T_Д = 2  F T_c / N.

Примем F T_c = 1.

Введем обозначение:

Тогда

Поэтому S_k представляет собой периодическую функцию с периодом N. Поэтому k = 0,1,2,.. N-1.

4.2. Обратное дискретное преобразование Фурье

По аналогии с формулами прямого и обратного преобразования Фурье для аналогового сигнала, и учитывая выражение для S_k , сконструируем формулу для обратного дискретного преобразования Фурье

Для определения константы a подставим в последнее соотношение выражение для S_k , предварительно заменив в нем индекс суммирования n на m

.

При m = n

При m  n

В результате получим

.

Следовательно,

Таким образом,

при n = 0, 1, ..N-1.

Для определения всех N отсчетов спектра или N отсчетов временной функции требуется выполнить комплексных умножений и столько же комплексных сложений.

При N больше 1000 это прямое вычисление требует больших затрат машинного времени. Поэтому возникла необходи- мость в разработке алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

4.3. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием во времени

Рассмотрим последовательность x_n, содержащую отсчетов, где M - целое число, Разобьем члены этой последовательности на две группы.

Индексы членов последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = 2m,

а индексы членов последовательностей x_n и x2_m - соотношением n = 2m + 1.

Тогда выражение для прямого ДПФ можно представить в виде

Учитывая, что

,

получим

Обозначим

где

.

Учтем, что,

Поэтому

Графическое представление вычислительных операций приведено на рисунке.

Стрелочками представлены множители

.

Отсчеты S₀ , S₁ , S₂, S₃ получаются с использованием операции сложения, поэтому около них стоит знак “ + “, отсчеты S₄ , S₅ , S₆ , S₇ находятся после выполнения операции вычитания и около них поставлен знак “ - “.

Подсчитаем количество операций умножения, которые нужно выполнить, используя алгоритм БПФ.

Номер шага разбиения	Количество умножений на постоянный коэффициент	Количество блоков ДПФ, подлежащих дальнейшему разбиению	Вид последовательности на входах оставшихся блоков
1	N / 2	2	N / 2
2	2 ( N / 4 ) = N / 2	4	N / 4
3	4 ( N / 8 ) = N / 2	8	N / 8
. . .	. . .	. . .	. . .
M -1	N / 2	2 M -1	N / 2 M -1 = 2
M	N / 2	-	-

На каждом шаге разбиения выполняется N / 2 умножений, количество шагов равно M = log ₂ N.

Следовательно, количество умножений равно (N / 2) log₂ N вместо N² при ДПФ.

Величина выигрыша при переходе от ДПФ к БПФ увеличивается с увеличением количества отсчетов N.