3. Критерии качества измерений

Качество измерений характеризуется тремя критериями: правильностью, точностью и надежностью.

Правильность измерения - это качество измерения, отражающее близость к нулю систематических погрешностей в результатах измерений. Правильность измерения обеспечивается путем введения в результат измерения поправок, равных систематическим погрешностям по абсолютной величине, но противоположных по знаку.

Точность измерения - это качество измерения, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность соответствует малым погрешностям всех видов, как систематических, так и случайных. Если тем или иным способом обеспечена правильность измерений, т.е. систематические погрешности исключены из результата измерений, то в этом случае точность измерения определяется случайными составляющими погрешности измерения.

Надежность измерения - это качество измерения, определяющее отсутствие в результате измерения грубых погрешностей (промахов). Аномальный результат измерения, т.е. отягощенный грубыми погрешностями, должен быть исключен из обработки, отбракован. На практике для обеспечения надежности результата измерения нередко оказывается достаточным произвести пробу, т.е., например, при измерении линии в прямом l₁ и обратном l₂ направлениях получить разность l = l₁ – l₂. Если l превышает допустимую величину, что свидетельствует о наличии грубой погрешности в результатах измерений, то необходимо выбраковать результаты l₁ и l₂ как ненадежные. Все измерения при этом биссируются, т.е. повторяются.

4. Методы обработки результатов измерений

4.1. Оценка точности равноточных измерений

При обработке группы результатов измерений следует выполнить следующие операции:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений путем введения в них соответствующих поправок.

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных (правильных) результатов отдельных измерений (наблюдений). За результат измерения принимается среднее арифметическое результатов наблюдений, свободных от грубых и систематических погрешностей.

3. Вычислить среднюю квадратическую погрешность результата одного измерения (наблюдения), которая является приближенным значением стандарта.

Численное значение m, если известно истинное значение измеряемой величины X, определяют по формуле Гаусса:

(4)

где  = l – X – истинная погрешность; X – истинное значение измеряемой величины; l – наблюденное значение величины, результат наблюдения; n – количество наблюдений.

На практике, как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. В этом случае используется формула Бесселя:

(5)

где – вероятнейшая погрешность; l – результат наблюдения; – вероятнейшее значение измеряемой величины (среднее арифметическое результатов наблюдений); n - количество наблюдений.

Интервал, в котором погрешность наблюдения находится с заданной вероятностью p, устанавливается, исходя из нормального распределения погрешностей, т.е. при p = 0,68 интервал определяется от –m до +m, при p = 0,95 – от –2m до +2m и при p = 0,99 – от –3m до +3m.

4. Вычислить среднюю квадратическую погрешность результата измерения (арифметической середины) M по формуле:

(6)

4.2. Оценка точности неравноточных измерений

Как и в случае равноточных измерений, на первом этапе необходимо исключить из результатов измерений известные систематические погрешности путем введения соответствующих поправок.

Далее необходимо определить вес каждого результата измерения. Вес результата измерения является положительным числом, обратно пропорциональным квадрату средней квадратической погрешности:

(7)

где p_i - вес i-го результата измерения; m_i - средняя квадратическая погрешность этого результата измерения; c - коэффициент пропорциональности.

На практике определение веса результата часто производят до вычисления средней квадратической погрешности. В простейшем случае вес результата может быть принят пропорционально числу приемов измерения. Например, имеется два ряда измерений одного и того же угла, выполненных двумя и тремя приемами ссответственно:

1 ряд 2 ряд

1. 178⁰1510 1. 178⁰1502

2. 178⁰1520 2. 178⁰1515

3. 178⁰1525

₁=178⁰1515 ₂=178⁰1514

Можно считать, что имеется два результата измерения:

₁=178⁰1515 с весом p₁ =2;

₂=178⁰1514 с весом p₂ =3

Если результаты получены путем измерения одной и той же величины приборами разного класса точности, то вес принимается обратно пропорционально классу точности прибора. Например, если угол измерен двумя теодолитами с точностью отсчетного приспособления 10 и 30 и результаты измерения соответственно равны 14⁰2810 и 14⁰2840, то им могут быть приданы веса 3 и 1.

Как вытекает из формулы (7), вес есть величина безразмерная и может быть произвольно увеличен или уменьшен в несколько раз. При вычислении вероятнейшего значения неравноточных измерений важны не сами веса, а их соотношения. Правильный выбор коэффициента пропорциональности в ряде случаев позволяет значительно облегчить вычисления.

Вероятнейшим значением ряда неравноточных измерений является весовое среднее (общее арифметическое среднее), которое принимается в качестве результата измерения:

(8)

где - весовое среднее; p_i – вес i-го результата измерения (i=1, 2, 3 …); l_i - результат i-го измерения ( =1, 2, 3 …); [p_i] - сумма весов результатов измерений.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса:

(9)

Если в формуле (9) принять p=1, то  будет численно равно m. Отсюда и происходит название величины  – погрешность единицы веса.

Средняя квадратическая погрешность весового среднего (результата измерений) определяется по выражению

(10)

4.3. Оценка точности результатов двойных измерений

В геодезической практике часто применяется метод двойных измерений, который заключается в том, что одну и ту же величину измеряют дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для истинных погрешностей. Используя разность двойных измерений можно получить надежные оценки точности измерений. Пусть

(11)

где d_i - разность двойного измерения; l_i и - результаты измерения одной и той же величины.

Если бы измерения были безошибочны, то разности были бы равны нулю. Следовательно, каждая разность d_i является истинной погрешностью и для средней квадратической погрешности m_d разности двойных измерений d можно записать

(12)

где n - количество всех разностей.

Все результаты измерений равноточны, поэтому можно считать

m = m₁ = m₂

где m₁ и m₂ – средние квадратические погрешности первого и второго измерений. Поскольку

то можно записать

(13)

Формула (13) дает выражение средней квадратической погрешности отдельного измерения из двойных измерений при отсутствии систематических погрешностей.

Если разности двойных измерений содержат систематическую погрешность, то ее нужно предварительно исключить.

Величина возможной остаточной систематической погрешности в разностях вычисляется как среднее арифметическое из этих разностей

(14)

Величину d₀ при обработке исключают из разностей d_i и находят значения _i – случайной части погрешностей разностей двойных измерений

_i = d₀ – d_i (15)

При этом []=0, т.к.

[]=[d] – d₀n = 0

Применяя в этом случае формулу Бесселя, получим

(16)

(17)

Вероятнейшим значением измеряемой величины будет среднее арифметическое из двух измерений

(18)

Среднюю квадратическую погрешность среднего из двух измерений (результата измерений) можно получить по формуле

(19)